• 工作总结
  • 工作计划
  • 心得体会
  • 领导讲话
  • 发言稿
  • 演讲稿
  • 述职报告
  • 入党申请
  • 党建材料
  • 党课下载
  • 脱贫攻坚
  • 对照材料
  • 主题教育
  • 事迹材料
  • 谈话记录
  • 扫黑除恶
  • 实施方案
  • 自查整改
  • 调查报告
  • 公文范文
  • 思想汇报
  • 当前位置: 雅意学习网 > 文档大全 > 公文范文 > 正文

    非局部守恒Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式

    时间:2023-06-02 14:35:17 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

    崔晨, 吴哲, 翟术英

    (华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021)

    近年来,带有非局部算子的Allen-Cahn方程等相场模型引起了广泛的关注,且在数学、物理、力学、图像处理和材料科学等领域得到了成功的应用. 例如,相变[1]、近场动力学理论[2]、图像修复[3]和非局部热传导[4]. 由于经典的Allen-Cahn方程不保持其初始质量,Rubinstein等[5]提出了一个守恒型的Allen-Cahn方程,这个问题与相变的扩散界面模型有密切的关系;
    随后他们的模型在文献[6]中得到了广泛的分析和数值研究.

    文中,考虑如下带有周期边界条件的非局部Allen-Cahn方程,即

    (1)

    (2)

    式(2)中:卷积核J满足ⅰ)J(x)≥0,∀x∈Ω;
    ⅱ)J(x-y)=J(y-x);
    ⅲ) J是Ω周期的.

    非局部Allen-Cahn方程(1)可以看作能量泛函的L2梯度流[8],即

    (3)

    对能量泛函E(u)关于时间t求导,可得

    (4)

    由上述推导可知,能量泛函E(u)是非增的.

    与经典Allen-Cahn方程[9-12]的大量研究相比, 非局部Allen-Cahn方程的数值结果较少.额外的非局部项给开发快速有效的算法带来了巨大的数值挑战,因此许多学者致力于这一方面的研究.Du等[13]研究了非局部Allen-Cahn问题的傅里叶谱逼近;
    Zhai等[14-15]结合谱方法和解析法,研究了分数阶非局部Allen-Cahn模型的快速显式算子分裂方法;
    Weng等[16]对此方法进行进一步推广,并给出了误差分析;
    Liu等[17]研究了几类非局部和分数阶模型的数值分析及快速算法;
    Guan等[18]研究了非局部Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程的二阶凸分裂格式,且利用非线性多重网格方法求解离散产生的非线性方程;
    Tian等[19]对非局部扩散方程的不同逼近形式做了比较并给出理论分析.

    鉴于此,本文给出求解守恒型非局部Allen-Cahn方程的数值格式及质量守恒定理,并通过两个数值算例验证算法的有效性.

    2.1 非局部算子的离散格式

    首先,从文献[20]关于非局部算子Lδ的分析,可将算子Lδ转化为卷积形式.对于任意函数u(x,t),有

    Lδu(x,t)=(J*1)u(x,t)-J*u(x,t).

    (5)

    于是,可将Lδu在点(xi,tm),(0≤i≤N,0≤m≤M)处离散为

    (6)

    (7)

    (8)

    因此,针对任意的N+1阶向量u=(u0,u1,…,uN-1,uN)T, 有

    Lδu=-h×

    (9)

    式(9)中:*i的值为所在行其余值和的相反数.

    2.2 算子分裂法求解非局部Allen-Cahn方程

    u(t+τ)=SA(t)SB(t)SC(t)u(t)+O(τ).

    (10)

    式(10)中:非线性方程解析求解,非局部方程利用C-N格式求解,拉格朗日乘子方程利用数值积分求解,从而得到简单高效的数值格式.

    非线性方程SA可通过解析式得到, 即

    (11)

    式(11)中:um表示第m层数值解.

    (12)

    对上述等式进行整理,并写成矩阵形式有

    (13)

    式(13)中:I表示单位矩阵.

    拉格朗日乘子方程SC可通过数值积分离散为

    (14)

    (15)

    (16)

    将式(16)代入式(14),可得

    (17)

    结合等式(11),(13),(17), 可获得算子分裂格式为

    (18)

    证明:方程(18)的第3个式子与e=(1,1,…,1)T作内积,并对i求和,可得

    (19)

    通过数值算例来验证理论分析的正确性,包括数值格式的收敛性、能量稳定性、质量守恒等. 所有的算例均选择空间区域Ω=[-1,1],高斯核J由下列等式给出[20],即

    (20)

    3.1 算例1

    取初值u0(x)=0.1cos(2πx),x∈[-1,1].为验证空间收敛阶,将时间剖分固定为M=3000.计算当ε=0.1,δ=0.5,T=1时,不同N值的空间收敛阶, 如表1所示.由表1可知:
    随着网格剖分变细,E2及E∞变得越来越小, 且收敛精度逐渐接近预期的二阶收敛.

    表1 空间收敛阶(ε=0.1,δ=0.5,T=1,M=3 000)Tab.1 Spatial convergence order of different schemes (ε=0.1,δ=0.5,T=1,M=3 000)

    将空间剖分固定为N=3000, 计算当ε=0.1,δ=0.50,T=1时,不同M值的时间收敛阶, 如表2所示.由表2可知:随着网格剖分变细,E2与E∞均变得越来越小, 且此方法在时间上达到一阶精度.

    表2 时间收敛阶(ε=0.1,δ=0.50,T=1,N=3 000)Tab.2 Spatial convergence order of different schemes (ε=0.1,δ=0.5,T=1,N=3 000)

    3.2 算例2

    将能量函数E(u)进行离散,可得

    (21)

    取初值u0(x)=0.2sin(πx)cos(πx),x∈[-1,1], 其相应的参数为ε=0.1,T=200,N=500,M=1 000.分别取δ=0.10,0.20,0.21,0.30,得到不同δ值的数值解、能量变化及质量图像,分别如图1~2所示.

    (a) 数值解(δ=0.10) (b) 能量变化(δ=0.10)

    (c) 数值解(δ=0.20) (d) 能量变化(δ=0.20)

    (e) 数值解(δ=0.21) (f) 能量变化(δ=0.21)

    (g) 数值解(δ=0.30) (h) 能量变化(δ=0.30)图1 算例2不同δ值的数值解和能量变化图Fig.1 Numerical solution and energy change diagram of different δ values of example 2

    (a) δ=0.10 (b) δ=0.20 (c) δ=0.30图2 算例2不同δ值的质量图Fig.2 Quality map of different δ values of example 2

    由图1可知:能量函数E(u)随着时间t的增加而减小,满足能量递减规律,且能量耗散与δ的大小有关,δ越大, 方程达到稳态所需时间越长.从图2可知:对于不同δ值,所给出格式均满足质量守恒的性质.

    文中研究了守恒型非局部Allen-Cahn方程. 首先利用算子分裂方法将原方程分解为3个子问题,并构造相应数值求解格式.理论分析表明,格式满足质量守恒. 最后,通过数值算例验证了所给格式的有效性.

    猜你喜欢 剖分算例算子 基于边长约束的凹域三角剖分求破片迎风面积兵器装备工程学报(2020年9期)2020-10-12Domestication or Foreignization:A Cultural Choice校园英语·上旬(2020年1期)2020-05-09基于重心剖分的间断有限体积元方法南京大学学报(数学半年刊)(2020年1期)2020-03-19一类算子方程的正算子解问题的研究安徽大学学报(自然科学版)(2018年6期)2018-11-19降压节能调节下的主动配电网运行优化策略电子技术与软件工程(2018年10期)2018-07-16提高小学低年级数学计算能力的方法速读·中旬(2018年4期)2018-04-28QK空间上的叠加算子卷宗(2017年16期)2017-08-30约束Delaunay四面体剖分无线互联科技(2017年12期)2017-07-18论怎样提高低年级学生的计算能力读写算·教研版(2016年10期)2016-06-08试论在小学数学教学中如何提高学生的计算能力读写算·教研版(2016年6期)2016-03-28

    推荐访问:算子 守恒 高效

    • 文档大全
    • 故事大全
    • 优美句子
    • 范文
    • 美文
    • 散文
    • 小说文章