基于窗函数与频率采样法的FIR滤波器仿真与实现
时间：2023-05-30 09:35:33 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
徐晗
（黑龙江科技大学电气与控制工程学院,黑龙江哈尔滨，150022）
有限冲激响应FIR数字滤波器又称为非递归型滤波器，在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，还有着有限长的单位抽样响应，因此滤波器是个稳定的系统。
窗函数法步骤简单、内容直观，是滤波器重要设计方法之一。由于FIR 滤波器的冲激响应序列是有限长的，需要用一个有限长的窗口函数序列ω（n）对无限长脉冲响应hd(n)进行截取，生成一个有限长脉冲响应h(n)=ω(n)*hd(n)。
窗函数法设计FIR滤波器步骤如下：
（1）根据设计指标，对过滤单元的响应hd(n)进行采样，
从频率采样定理来看，hm(n)和hd(n)需满足如下关系：
如果已经给出边界频率和阻带通带衰减要求，可以采用理想滤波器作为逼近函数，再作傅里叶逆变换求出hd(n)。如果未给定阻带衰减，则要根据通带纹波和阻带纹波去求：
式中Rp为通带波动，As为阻带最小衰减，δp为通带纹波，δs为阻带纹波。
（2）根据过渡频带和停止频带衰减的要求，选择窗口的形式和窗口函数的长度N。假设Δω为滤波器的长度，由于过渡带的滤波器长度与窗口长度近似成反比，窗函数主瓣宽度与窗口函数近似相等，所以N≈A /Δω，由窗口的形式所决定，用 A 表示。
(3)计算滤波器的单位冲击响应h(n)：
式中ω(n)是已选择的窗函数。如果要求线性相位，则要求hd(n)和ω(n)均对（N-1)/2对称，如要求h(n）对(N-1)/2奇对称，只要保证hd(n)对(N-1)/2奇对称就可以了。
各窗函数的性能如下表1所示。
表1 各窗函数性能
窗函数的主瓣宽度决定了Hd( jω )过渡带的宽度，窗函数长度N越大，过渡带越小。
窗函数法是从时域出发，而频率采样法，是从频率出发。根据频域采样定理，在得到FIR滤波器的N个频域采样值H(k)后，传输函数H（z）为
按频率采样定理由Hd(k)求H(z)或h(n)。
为使滤波器保持线性相位，H(ejω) 和 H（k）要满足一定的条件。一般理想滤波器的幅度响应只给出了（0～π）范围频率采样的幅度值，所以上式中k只能取0～N/2的点，从N/2+1～N-1的点要根据线性相位的奇偶对称条件求得，步骤如下：
4.1 基于汉明窗的低通滤波器
设计一个低通滤波器，Wp=0.2π,Ws=0.4π,Ap=0.25dB,As=50dB，这里选用汉明窗。
汉明窗低通滤波器仿真运行结果：
N=34
Ap=0.0477dB＜0.25dB
As=52dB＞50dB
经验证完全符合设计要求。
图1 汉明窗低通滤波器
图2 汉宁窗带阻滤波器
4.2 基于汉宁窗的带阻滤波器
设计一个带阻滤波器，Wp1=0.2π,Ws1=0.4π,Wph=0.6π,Wsh=0.8π,Ap1=0.5dB,Ap=0.5dB, As=40dB，As=40dB,这里选用汉宁窗。
图3 双带通滤波器
汉宁窗带阻滤波器仿真运行结果：
N=31
Ap=0.1502dB＜0.5dB
As=40dB=40dB
经验证完全符合设计要求。
4.3 基于频率采样法的多带滤波器
设计多带滤波器，理想幅频响应在归一化频率 0.2～0.3 之间为 0.5，在 0.6～0.7 之间为1，其余处为0。
分别取滤波器长度N为20、50、100对比，可以看到N越大通带增益越高，阻带衰减越快，但也会相应的增加滤波器的成本，故频率采样法一般用于窄带FIR滤波器的设计工作。
本文通过对窗函数法和频率采样法的分析和介绍，设计并实现了FIR滤波器的仿真，仿真结果表明，FIR滤波器的各项性能指标均满足要求，为后者更好地设计数字滤波器提供了参考。
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