基于改进LuGre,摩擦模型的机器人关节模糊自适应反步控制
时间：2023-05-29 19:00:23 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
李俊阳，赵琛，夏雨，甘来
（1.重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆 400044；
2.重庆大学机械与运载工程学院，重庆 400044）
谐波减速器作为机器人柔性关节主要零部件［1-2］，具有小体积、大扭矩等特点［3］，但是由于谐波减速器传动时波发生器与柔轮内壁、柔轮齿与刚轮齿存在复杂的滑动摩擦接触，导致整个减速器不同的工况环境条件下存在较强的非线性摩擦，且对外界未知干扰力矩敏感.因此，研究谐波传动系统的动力学特性，并提出有效的控制策略以实现对非线性摩擦以及外界未知干扰力矩的高精度补偿，具有十分重要的理论研究意义和工程应用价值［4］.
LuGre 摩擦模型［5］能精确地描述摩擦的各种动静态特性，如黏滑运动、预位移等，因此在基于模型的摩擦补偿中得到了广泛应用.党选举等［6］基于Lu-Gre 摩擦模型对液压系统进行摩擦补偿；
罗阳等［7］基于谐波齿轮传动的非线性特性，提出了一种基于记忆特性迟滞刚度和LuGre 动态摩擦的谐波齿轮传动动力学模型，但如何准确辨识LuGre 模型参数仍是难点；
Huang 等［8］提出了基于LuGre 模型的机电伺服系统摩擦自适应补偿方法，证明其所提出的自适应补偿方法能很好地估计或减少摩擦和间隙的不利影响，提高了跟踪效果；
Yue 等［9］基于光电跟踪系统提出了一种改进的LuGre 模型，并利用遗传算法对摩擦模型的动静态参数进行辨识，需辨识的参数数目庞大且对理论要求高.综上，LuGre 模型虽得到广泛应用，但模型参数会随着外界条件的变化而变化，因此，如何更加准确地描述LuGre 模型，又如何对变换的参数进行摩擦补偿，成为研究的焦点.
反步控制是非线性控制中的一种重要方法［10］，其与神经网络、模糊逻辑、命令滤波器的结合是目前研究的热点［11-14］.王冬冬等［15］在经典反步控制基础上，采用有限时间命令滤波，并设计了误差补偿，最终保证了柔性关节闭环系统有限时间收敛；
Sun等［16］基于径向基函数神经网络的特性，将反步控制的应用范围扩大到更一般的随机非线性系统，保证了所有闭环信号有界，跟踪误差收敛在一个足够小的领域内；
李晓光等［17］采用最小二乘算法辨识了模型参数，并将反步控制与滑模控制相结合，设计了自适应滑模反步控制器，并与传统PID［18-20］控制进行比较，提高了其动态响应速度，跟踪精度高，抗干扰能力强.
针对机器人柔性关节谐波驱动系统，考虑温度、载荷等工况对传动界面摩擦的影响，通过引入改进参数φ和ξ自适应分别对LuGre 摩擦模型中的静态摩擦参数和动态摩擦参数进行补偿，采用模糊神经网络自适应逼近外界干扰力矩对谐波驱动系统的影响，引入正切障碍Lyapunov 函数对输出信号进行约束，使得位置跟踪误差被限制在给定范围之内，并利用双曲正弦函数跟踪微分器解决虚拟输入微分引起的“微分爆炸”和一阶滤波器精度差问题，最终提出了基于改进的LuGre 摩擦模型的机器人关节模糊自适应反步控制策略.
1.1 系统动力学模型
机器人关节在工作中存在着柔性变形、非线性摩擦和外界未知干扰等因素，综合考虑存在因素的影响，建立柔性滤波驱动机构的动力学模型［21］：
1.2 LuGre摩擦模型的改进
式（1）中的非线性摩擦力Ff由LuGre 摩擦模型定义为［22］：
式中：z为鬃毛的平均变形量；
g(˙)为不同摩擦影响；
σ0为鬃毛刚度系数；
σ1为鬃毛阻尼系数；
σ2为黏性摩擦系数；
Fc为库伦摩擦力矩；
Fs为静摩擦力矩为Stribeck速度.
在LuGre 摩擦模型中，系数σ0、σ1、σ2都是恒定常数.而在实际工况中，系数σ0与σ1分别表示传动界面处于混合润滑状态时鬃毛接触刚度与相对滑动时的阻尼系数，随着微凸体接触与油膜承担载荷的比例改变而变化；
σ2为油膜的黏性摩擦系数，相对运动速度增大弹性流体动压效应的增加，以及温度变化引起的润滑剂黏度改变，都将影响油膜的黏性摩擦系数.因此，为了更准确地反映减速器内部摩擦随外界工况环境条件的变化，分别引入参数φ和ξ对LuGre摩擦模型进行改进，具体如下：
式中：φ用来反应鬃毛平均变形量的变化；
ξ用来反应黏性摩擦系数的变化，且0 ＜φmin＜φ＜φmax和0 ＜ξmin＜ξ＜ξmax.
将式（3）代入式（2）得：
式（4）中的参数均会随着外界温度、润滑条件等因素的影响发生变化，因此假设实际的LuGre 摩擦模型可表示为：
由于参数的实际值很难获得，将其名义值表示实际模型，式（1）改写为：
2.1 模糊逻辑系统
为了补偿外界未知干扰力矩，采用单点模糊化、乘积推理和中心去模糊化推导出模糊规则［23-25］，输出的模糊系统可表示为：
式中：θj为模糊隶属函数μBj(θj)达到最大值的点，进一步假设μBj(θj)=1.
则式（8）可以表示为：
如果所有参数都取高斯函数，那么下面的引理成立.
引理［23］：设f(x)是定义在集合Ω上的连续函数，则存在一个如式（11）所示的模糊逻辑系统，使得：
式中：δ(x)为逼近误差且满足|δ(x)|＜ε.
假设存在一个光滑有界函数ρi(·)，满足0 ＜|εi+Di+1|≤ρi，i=1，2，3.
2.2 正切障碍函数
为了保证输出状态被约束在期望的区域内，本文使用正切障碍函数ytan(y).正切障碍函数具有以下特点［25］：
在进行Lyapunov 分析时，正切障碍函数ytan(y)满足：当y→-π/2或y→π/2时，ytan(y) →∞.
2.3 双曲正弦函数跟踪微分器
为了避免控制器设计中的“微分爆炸”，引入了基于双曲正弦函数的跟踪微分器，表示为［26］：
式中：α(t)表示输入信号；
v1(t)、v2(t)表示跟踪微分器的状态变量；
R、l1、l2、λ1、λ2均为大于0 的设计参数.对于合适的设计参数R、l1、l2、λ1、λ2，当输入信号α(t)通过微分器时，如果有v1(t) -α(t) ≤κ且κ＞0，那么存在正常数lv2使得：
2.4 模糊自适应反步控制器设计
第1步：给定连续可导的位移参考信号x1d，则有误差变量e1=x1-x1d，对e1求导.
定义第1个正切障碍Lyapunov函数［20］：
其中满足e1∈(-r1，r1)，r1表示设计参数.
对V1求导：
为便于控制器设计，假定x1d=α1，x4d=α4，即αi，i=1，2，3，4通过双曲正弦跟踪微分器［21］得到˙：
第2步：定义第2个误差变量.
将式（20）代入式（19），得
定义第2个正切障碍Lyapunov函数：
对于外界位置干扰力矩τ1，根据式（11）使用模糊神经网络［23-25］进行逼近，得
由于鬃毛的平均变形量z不能直接测量，因此，使用一个非线性状态观测器来估计z的大小，即
对于外界位置干扰力矩τ2，根据式（11）使用模糊神经网络［23-25］进行逼近，得
对于任意给定的常数p，定义紧集为：
如果初始状态满足Πi，r1(0) ∈(-r10，r10)，其中i=1，2，3，4，那么，所提出的控制方案可以满足所有不等式的成立.
证明：
机器人关节模型参数如表1 所示［17］；
LuGre 摩擦模型参数如表2所示［17］.
表1 机器人关节模型参数Tab.1 Robot joint model parameters
表2 LuGre摩擦模型参数Tab.2 LuGre friction model parameters
控制参数输出约束r1=0.2，k1=20，k2=k3=k4=50，λ2=0.01，λ3=λ4=0.1；
选取位移参考信号：x1d=1 -cost.设置加载至负载端的外部未知干扰力矩为τ1=50 N · m，电机端的外部未知干扰力矩为τ2=0.5 N · m，PID控制器参数：kp=80，ki=40，kd=1.
4.1 跟踪效果
图1 为在输出约束下FABC（Fuzzy Adaptive Backstepping Control）、RBFDSC 和PID 控制器对参考轨迹的跟踪效果对比图.3 种控制器均能对参考轨迹实现一定精度的跟踪效果，从局部放大图中可以看出FABC控制方法输出轨迹最接近参考轨迹.
图1 3种控制器的轨迹跟踪Fig.1 Trajectory tracking of three controllers
图2 为FABC、RBFDSC 和PID 控制器与参考轨迹的跟踪误差对比图.从图2 可以看出，PID 控制器的轨迹跟踪误差在±0.2 rad 以内，RBFDSC 跟踪误差在±0.05 rad之内，FABC在输出受限时的跟踪误差在±0.015 rad之内.可见，FABC 控制方法可以显著提高对给定信号的跟踪效果；
当输出受限时，FABC 最大跟踪误差仅为PID的最大跟踪误差的7.5%、RBFDSC的3%，所以本文提出的FABC控制算法的精度更高.
图2 3种控制器的轨迹跟踪误差Fig.2 Trajectory tracking error of three controllers
4.2 外界扰动与摩擦补偿效果分析
在减速器端和电机端施加外界扰动力矩分别为：τ1=50 N · m，τ2=0.5 N · m.模糊神经网络自适应律的参数为：Γ1=Γ2=0.01，c1=c2=5.自适应改进系数φ、ξ的参数：η1=0.008，η2=3.20.
图3 为神经网络对负载端的外部未知干扰力矩为τ1=50 N·m 的补偿情况，图4 为神经网络对电机端的外部未知干扰力矩为τ2=0.5 N·m 的补偿情况.由图3 和图4 可知，在施加外界力矩扰动后，模糊神经网络1（Fuzzy Radial Basis Function1，FRBF1）和模糊神经网络2（Fuzzy Radial Basis Function2，FRBF2）都可以迅速响应并以较小的误差跟踪期望轨迹.图5 为实际摩擦力的补偿效果，通过在LuGre 模型中引入参数φ、ξ并采用自适应方法实现了对非线性摩擦力的准确跟踪.图6 给出了摩擦力的跟踪误差值.可知，对改进后的LuGre 模型可以较好地进行自适应摩擦补偿，摩擦力误差控制在-0.7～0.4 N 之内.综上，所提出的自适应控制器对外界扰动力矩与实际摩擦力都有非常好的补偿效果且具有较强的鲁棒性.
图3 FRBF1对τ1逼近Fig.3 Approximation of FRBF1 to τ1
图4 FRBF2对τ2逼近Fig.4 Approximation of FRBF2 to τ2
图5 改进后LuGre模型对摩擦力补偿效果图Fig.5 Compensation effect of modified LuGre model on friction force
图6 摩擦力误差变化Fig.6 Error variation of friction force
4.3 LuGre摩擦模型参数变化下的仿真分析
为了更好地验证本文提出的自适应控制算法的鲁棒性，接下来分析控制算法对变参数LuGre 模型的跟踪效果，LuGre摩擦模型参数取值如表3所示.
表3 LuGre摩擦模型动态参数Tab.3 LuGre friction model dynamic parameters
图7 和图8 分别为摩擦模型参数变化下的控制器对参考信号的轨迹跟踪情况以及轨迹跟踪误差.在参数变化的情况下，该方法仍可以有效跟踪给定轨迹，且跟踪误差被控制在±0.2 × 10-3rad 之内.由此可知，提出的控制器具有较高的鲁棒性，可以精确地对参考轨迹进行跟踪.
图7 动态参数变化下的控制器跟踪轨迹Fig.7 Trajectory tracking of controller under dynamic parameters variation
图8 动态参数变化下的轨迹跟踪误差Fig.8 Trajectory tracking error under dynamic parameters variation
图9 和图10 为动态参数变化后，改进系数φ、ξ自适应下的摩擦补偿效果以及其摩擦力补偿误差.由图9 可知，在LuGre 模型参数动态变化时，所提出的改进系数自适应方法仍可较为精确地对实际摩擦力进行摩擦补偿，且误差控制在-0.8～0.6 N 之内.由此证明了本文所提出的控制器可以实现精确控制，且具有较强的鲁棒性.
图9 动态参数变化下的自适应摩擦力补偿效果图Fig.9 Adaptive friction compensation effect under dynamic parameters variation
图10 动态参数变化下的摩擦力误差Fig.10 Friction force error of dynamic parameters variation
针对机器人关节，提出了一种基于摩擦补偿的模糊自适应反步控制方法，以实现对给定参考信号在非线性摩擦和外界未知力矩的干扰环境的精确稳定跟踪控制.通过引入鬃毛平均变形量φ，黏性摩擦系数变化量ξ改进了LuGre 摩擦模型，设计了带摩擦补偿的模糊自适应反步控制器，减小了非线性摩擦和外界未知干扰力矩的影响并验证了在动态摩擦参数变化下，所提出的自适应摩擦补偿方法仍可对摩擦力准确跟踪，误差控制在-0.8～0.6 N 之内.在MATLAB/Simulink 环境下进行仿真实验，验证了所提出控制方法的有效性.结果表明：与传统PID 和RBFDSC 控制相比，本研究提出的FBAC 控制方法对摩擦参数变化和外界未知干扰力矩具有较强的鲁棒性，可以有效提高系统的位置跟踪精度，跟踪误差分别提高了近7.5%和3%.
在未来研究中可以考虑关节减速器迟滞、非线性刚度等因素的影响，实现对动力学模型的进一步优化，设计出具有更高精度的控制器.
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