基于泰勒展开的二阶层次分析法初探
时间：2023-05-29 11:40:19 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
赵维涛， 尹福平， 胡东超
(沈阳航空航天大学 航空宇航学院，沈阳 110136)
层次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)因其操作简单，且不需要大量数据等优点得到广泛使用，并且ADC模型[1]的能力矩阵大多采用AHP计算。近年来，许多学者对AHP做出改进，衍生出多种AHP，如群组AHP、模糊AHP和区间AHP等。
阎朝一[2]以判断矩阵的一致性指标作为专家权重的标准，构建了群组AHP。李春强[3]基于区间AHP构建了舰船动力系统的评估模型。马淼等[4]运用AHP与模糊综合评价法对抛锚器作战效能进行评估。周曼等[5]将模糊AHP应用在综合电子信息系统标准适用性分析中。段若晨等[6]通过三标度法代替九标度法，并采用最优传递矩阵对AHP进行改进。王建等[7]通过将判断矩阵转化成模糊一致性矩阵，使其自然满足一致性检验。LI等[8]采用模糊综合评价法对指标进行评价，采用AHP确定指标体系的权重，进而评估潜艇集群鱼雷武器系统作战效能。Zhao等[9]利用AHP确定无人机回收系统的影响权重，通过定性分析和定量分析相结合，对无人机回收系统进行有效评价。Jia等[10]将熵权法和AHP结合确定权重，最终得出设备管理信息系统的综合水平。Wei等[11]采用模糊AHP与ADC模型相结合的方式对舰载通信设备进行效能评估。Mangla等[12]采用模糊AHP对风险进行定性和定量评估，确定其关注的优先级。He等[13]通过引入一种基于评价者偏好顺序的相对权重计算方法，取代传统的九标度法。雷宁等[14]等采用AHP确定武器导弹维修保障指标体系的权重，结合模糊综合评价法确定武器导弹维修保障效能。唐政等[15]提出水声对抗系统效能灰色层次分析评估方法，解决了水下信息模糊与数据缺失对水声对抗系统效能评估的影响。杨东岳等[16]使用德尔菲咨询法构建了云探测的能力指标，首次引用AHP对云探测的作战效能进行了相对客观的系统评估。Chang等[17]结合AHP、重要性能分析和二元模糊语言表示模型来确定仿真训练系统的效益，该方法不损失专家提供的任何有价值的信息。Xing等[18]运用AHP和模糊评价法，定量分析乡村旅游发展的各种要素。Han等[19]为减少主观因素的影响，提出了一种基于层次分析与熵权的无人机智能群系统效能评估方法。
目前，AHP的研究主要集中在判断矩阵、比例标度和一致性与可信度等问题上，但这些研究并未改变AHP采用底层指标效能线性加权模型的本质，对于非线性体系效能或能力评估误差较大。因此，本文以底层指标效能值等于1/2为展开点，基于泰勒展开推导出二阶加权模型的表达式，并给出二阶AHP效能评估步骤，构建二阶AHP的基本框架，减少利用AHP评估非线性体系效能或能力的误差，进而减少产生决策性错误的机率。
2.1 基本原理和方法
经典AHP评估系统效能的基本思想是将研究对象的目标分解为一个层次结构模型。然后由专家对同一层次的因素进行两两比较与评估，形成判断矩阵并对其进行一致性检验，若不满足则需要重新构建判断矩阵,若满足则可获得各评估指标的权重。最后,由底层次向顶层次(目标层)逐层进行计算，进而得到系统效能评估值。
设顶层指标效能为E，底层指标i的效能为ei，则经典AHP数学表达式为
(1)
2.2 缺陷分析
经典AHP为线性加权模型，而在实际问题中，绝大多数体系顶层指标效能与底层指标效能的关系为非线性，当采用经典AHP评估高度非线性问题时会引入较大的误差，易产生决策错误。若武器装备效能评估值高于真实效能，则可能导致装备在实战中执行力不足和任务失败，影响战争结局；
若武器装备效能评估值低于真实效能，则可能导致装备保障和维修等费用增加，造成资源浪费。
3.1 二阶效能模型
二阶效能模型的数学表达式为
(2)
式中fi(ei)为底层指标效能的非线性函数。
将各评估指标数据进行规范化处理后，效能值E处于[0,1]。因此，当ei=0时，fi(ei)=0；
当ei=1时，fi(ei)=1。
在ei=1/2处对fi(ei)进行二阶泰勒展开，得
fi(ei)=fi(1/2)+f′i(1/2)(ei-1/2)+
[f″i(1/2)/2](ei-1/2)2
(3)
当ei=0时，有
fi(0)=fi(1/2)-(1/2)f′i(1/2)+f″i(1/2)/8=0
(4)
当ei=1时，有
fi(1)=fi(1/2)+(1/2)f′i(1/2)+f″i(1/2)/8=1
(5)
将式(4,5)分别进行相加和相减计算，并将相加和相减结果代入式(3)，得
fi(ei)=fi(1/2)+ei-1/2+[2-4fi(1/2)]×
(ei-1/2)2
(6)
将式(6)代入式(2)，得
(7)
式(7)为顶层指标效能与底层指标效能之间的数学表达式，其中fi(1/2)为未知常量。只有确定fi(1/2)值，才能得出顶层指标效能E与底层指标效能ei的数学表达式。对于所有评估指标，本文令fi(1/2)均相等，即fi(1/2)=f(1/2)，则
(8)
由式(8)可知，当ei=1/2时，E=f(1/2)，故f(1/2)物理意义为当底层指标效能均取1/2时，顶层指标的效能值。
3.2 底层指标效能函数
底层指标效能函数f(ei)为ei的二次函数，因此f(ei)可能出现负值或大于1的情况，而效能值范围为[0,1]，因此需要对f(ei)进行修正。修正方法为,当效能值不处于[0,1]时，二次函数采用直线进行代替。修正后的f(ei)数学表达式为
当f(1/2)=1/2时，
f(ei)=ei
(9)
当f(1/2)∈[1/4，1/2)∪(1/2,3/4]时，
f(ei)=f(1/2)+ei-1/2+[2-4f(1/2)]×
(ei-1/2)2
(10)
当f(1/2)∈[0,1/4)时，
(11)
当f(1/2)∈(3/4,1]时，
(12)
当f(1/2)分别取1/8，1/3，1/2，2/3和7/8时，函数f(ei)如图1所示。
图1 f (ei)与ei关系曲线Fig.1 Relationship curve between f (ei) and ei
3.3 二阶AHP基本步骤
(1) 建立效能评估指标体系；
(2) 利用经典AHP确定权重；
(3) 通过专家评估模型的非线性程度，打分确定当底层指标效能均取1/2时顶层指标效能，即确定f(1/2)；
4)根据f(1/2)值，计算f(ei)；
(5)根据式(8)计算顶层指标效能。
4.1 数学问题
设某系统顶层指标效能E与底层指标效能e1和e2之间的关系为
(13)
4.1.1 经典AHP计算表达式
为获得权重，将e1和e2分别在0～1均匀生成10个点，然后组合可构建出100个样本点并利用式(13)计算解析解，最后通过优化(经典AHP评估值与解析解误差最小)得到权重。计算结果为ω1=ω2=1/2，故经典AHP的表达式为
Ea=e1/2+e2/2
(14)
4.1.2 二阶AHP计算表达式
(15)
4.1.3 结果讨论
按照100个样本点效能值大小进行排序，解析解、经典AHP和二阶AHP的评估值如图2所示。可以看出，采用二阶AHP给出的效能评估值比经典AHP更接近于解析解，二阶AHP评估效果优于经典AHP。另外，对比式(13～15)可知，二阶AHP模型保留了解析解的二次特征，而经典AHP模型为线性模型，从理论上讲,二阶AHP模型相比经AHP典模型更接近解析解。
图2 评估结果(算例1)Fig.2 Results of evaluation (Example 1)
4.2 拉杆强度效能评估
拉杆截面为圆形，半径为r，拉力为P。由材料力学可知，拉杆的正应力σ为
σ=P/πr2
(16)
式中r∈[0.1,1]为趋大型指标，P∈[0,π [σ]/100]为趋小型指标，σ∈[0，[σ]]为趋小型指标，[σ]为许用应力。
4.2.1 效能解析解
将底层指标r和P以及顶层指标σ按其所属类型转换到[0,1]区间内的效能指标，并代入式(16)，得效能解析解为
E=1-(1-eP)/(9er+1)2
(17)
4.2.2 经典AHP计算表达式
采用与算例1相同的优化方法计算权重，经典AHP的数学表达式为
Ea=0.7273er+0.2727eP
(18)
4.2.3 二阶AHP计算表达式
当er=eP=1/2时，效能解析解为119/121，即f(1/2)=119/121，则二阶AHP的数学表达式为
Es=0.7273f(er)+0.2727f(eP)
(19)
式中
表1记录了25个底层指标效能er与eP，分别采用经典AHP和二阶AHP计算25个样本点的效能，计算结果如图3所示。可以看出，二阶AHP评估效能比经典AHP更接近于解析解。
表1 样本点效能值Tab.1 Efficiency of sample points
图3 评估结果(算例2)Fig.3 Results of evaluation (Example 2)
4.3 火力打击能力评估
该算例来源于文献[20]，为火炮火力打击能力评估。火力打击能力CH由火力反应时间tF、弹药杀伤半径r、射击精度PS和弹药威力DW决定，火力打击能力的计算模型[20]为
CH=(1-tF/t)πr2PSDW/S
(20)
4.3.1 火力打击能力解析解
(21)
4.3.2 经典AHP计算表达式
采用与算例1相同的优化方法计算权重，则经典AHP的数学表达式为
Ca=0.2458CtF+0.2626Cr+
0.2458PS+0.2458DW
(22)
4.3.3 二阶AHP计算表达式
当CtF=Cr=PS=DW=1/2时，能力的解析解为1/32，则二阶AHP评估能力Cs的表达式为
Cs=0.2458f(CtF)+0.2626f(Cr)+
0.2458f(PS)+0.2458f(DW)
(23)
4.3.4 结果讨论
文献[20]介绍了M777轻型火炮、FH-77B牵引火炮、T-240 mm 榴弹炮以及66式152 mm榴弹炮，四种火炮性能指标参见文献[20]。采用经典AHP和二阶AHP的能力评估结果如图4所示。可以看出，二阶AHP相比于经典AHP更接近于解析解。
图4 评估结果(算例3)Fig.4 Results of evaluation (Example3)
(1) 针对经典AHP采用线性加权模型的缺陷，本文基于泰勒展开建立二阶加权模型，对于线性系统，二阶加权模型可退化为线性加权模型。推导出二阶AHP的数学表达式，给出二阶AHP效能评估步骤，构建二阶AHP的基本框架。
(2) 算例结果表明，二阶AHP的评估结果相比经典AHP的评估结果更接近解析解。对于武器装备而言，若评估误差较大会给决策者提供错误的信息或带来一定的负面影响，因此采用二阶AHP可减少产生决策性错误的机率，从而提高战争胜率。
(3) 本文引入了f(1/2),其物理意义为当底层指标效能均取1/2时顶层指标的效能值。算例f(1/2)均采用解析解，对于实际问题f(1/2)，可由专家按照尺度标准打分给出，尺度标准等问题将在后续研究中结合实际问题进行深入探究。
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