基于断裂力学的层状岩石Hoek-Brown准则修正模型研究

李英杰王炳乾左建平薛东杰刘德军

中国矿业大学(北京)力学与建筑工程学院,北京 100083

泥页岩是一种常见沉积岩,约占沉积岩类的70% ,一直被认为是含油气盆地的盖层岩石[1]。随着页岩气作为绿色能源进行开采,页岩也成了储气层,其力学特性越来越受到重视。

页岩在沉积过程中由于特殊的地质环境会形成层理结构,是典型的各向异性材料[2]。

实验结果表明,随加载方向与层理方向夹角的不同,页岩的各向异性表现在变形参数、物性参数和强度参数[3-5]。

对于页岩的强度特征,目前多采用Jaeger[6]提出的经典单弱面强度准则、双弱面和多弱面强度准则来描述其受压破坏规律,但弱面强度理论仅能反映含不同倾角岩块的强度特征,并不能反映层状岩体的强度特性[7]。

因此,建立适用于层理性页岩等各向异性岩石类材料的强度破坏准则具有理论和现实意义。

Hoek-Brown 准则作为岩石破坏的重要判据,能综合反映岩块强度、地质条件和岩体结构,在岩土及地下工程中起着重要作用[8-10]。

其具体表达式为

式中,σ1、σ3分别为岩体破坏时的第一、第三主应力;σc为岩石试件的单轴抗压强度;m、s为Hoek-Brown 准则参数,分别表示岩石的软硬程度和破碎程度。

为了明确Hoek-Brown 准则中各参数的物理力学意义,Zuo、李洪涛等[11-13]从细观角度对Hoek-Brown 准则进行讨论,通过对岩石中初始裂纹的断裂力学分析和数学推演得到了岩石三轴压缩下的破坏特征量,给出了各向同性岩石的Hoek-Brown 准则的断裂力学解释,从理论上证明了Hoek-Brown 准则的合理性,并给出了参数m的表达式,为进一步理论修正Hoek-Brown 准则各向异性打下了基础。

目前广泛使用的Hoek-Brown 准则多基于各向同性假设。

为了得到各向异性材料的破坏准则,许多学者对Hoek-Brown 准则进行各向异性修正[14-17]。

大体上分为两类,一类是直接修正,一类是间接修正。

直接修正是通过在Hoek-Brown 准则中插入修正参数来考虑岩石的各向异性。

如Saroglou 等[14]提出在Hoek-Brown 准则中插入新的强度各向异性参数kβ,并用三轴实验数据拟合得到kβ值,修正后的公式为

式中,σcβ为不同层理角度页岩的单轴抗压强度。

间接修正是通过改变Hoek-Brown 准则中的参数来考虑岩石的各向异性。

如Lee 等[15]给出了参数m的分布函数,并运用临界面方法得到三维各向异性修正的Hoek-Brown 准则。

本研究以各向同性Hoek-Brown 准则断裂力学分析为基础,考虑层理软弱面对初始裂纹起裂的影响,建立层状岩石破坏的断裂力学模型,得到Hoek-Brown 准则各向异性修正模型。

将修正模型和各向异性Hoek-Brown 模型及页岩三轴实验结果对比,验证模型的合理性。

各向同性材料的Hoek-Brown 准则理论模型基于如下基本假设[12]:

(1) 完整岩石内随机分布大量裂纹,裂纹彼此独立。

(2) 围压对微破裂有抑制作用,考虑外荷载具有轴对称性的环向等围压情况。

(3) 岩石的破坏发生在与最大主应力平行的平面内,概率相同。

建立如图1 所示的受等围压岩石断裂力学模型。

设初始裂纹与σ3之间的夹角为θ,由断裂力学理论知,图1 中裂纹为纯II 型裂纹,初始裂纹所受的有效剪应力τθ及裂纹扩展条件如下:

图1 等围压下单裂纹断裂力学模型[12]Fig.1 Fracture mechanical model of single crack under constant confining pressure

式中,μ为摩擦系数;KⅡ为II 型应力强度因子;KIC为I 型断裂韧度;κ为常数,其根据断裂准则选取不同值。

Zuo 等[11-13]认为,单个裂纹临界起裂条件不足以引起岩石脆性破坏,而岩石脆性破坏是岩石内部微破裂密度达到极限的结果。

通过数学分析推导得到各向同性岩石Hoek-Brown 准则表达式:

本研究以式(3)为基础,推导适合层状岩石的修正模型中m的表达式。

2.1 模型参数m 的各向异性修正

层状岩石层理弱面的存在影响裂纹的起裂扩展方向,此时各向同性断裂分析中的式(2)不再适用。

在前述研究的基础上,考虑层理面对裂纹起裂的各向异性作用,建立层状岩石含单一裂纹的平面断裂力学模型,如图2 所示。

建立该模型时,除了满足各向同性材料的Hoek-Brown 准则断裂力学分析的基本假设外,还认为层状岩石破坏也是内部微破裂密度达到极限的结果,但此时的破坏发生在一定“区域”中,该“区域”既包含层理又包含基质。

图2 模型认为,岩石存在与最小主应力夹角为θ的初始微裂纹,同时存在层理弱面,其与最小主应力夹角为β。

为了分析方便,建立初始裂纹尖端直角坐标轴x′y′,x′轴沿着初始裂纹方向,y′轴与x′轴垂直,层理与x轴夹角为θ′。

初始裂纹尖端坐标系下分叉裂纹方位角θ′,主应力坐标系下层理方位角β与初始微裂纹方位角θ的几何关系为:θ=β+θ′。

图2 等围压下层状岩石含单裂纹断裂力学模型Fig.2 Fracture mechanics model of bedding rock with single crack under constant confining pressure

研究表明[18],对于纯Ⅰ、纯Ⅱ型裂纹,当弱面方向断裂韧性与其他方向断裂韧性的比值分别小于0.259 4、0.662 1 时,裂纹总会偏转到弱面方向上。

模型首先考虑层理面足够软弱使得初始裂纹全部偏转到层理软弱面的情况。

初始裂纹扩展过程中尖端和沿层理方向会有分叉裂纹。

为了研究初始裂纹偏转到层理弱面后进一步起裂扩展条件,建立层理分叉裂纹尖端的坐标系,其几何和受力情况如图3 所示。

Hou 等[19]以裂纹尖端的Williams 应力解[20][式(4)]为基础,认为与初始裂纹尖端夹角为θ′的分叉裂纹起裂扩展微小段距离a时,根据连续性假设,分叉裂纹尖端的应力等于初始裂纹尖端角度θ′处应力σr′r′、σθ′θ′、τr′θ′。

如式(5)所示。

图3 分叉裂纹尖端几何与受力示意图Fig.3 Geometry and stress of the branch crack system

以此为基础,将层状岩石初始裂隙沿层理面方向的分叉裂纹方位角θ′代入初始裂纹Williams 应力解,得层理方向分叉裂纹尖端能量释放率Gθ′:

式中,KⅠ、KⅡ为初始裂纹的应力强度因子分别为层理方向分叉裂纹尖端Ⅰ型、Ⅱ型应力强度因子;E′为岩石的弹性模量。

将式(4)代入式(5),层理方向分叉裂纹尖端能量释放率Gθ′:

依据断裂力学理论,当分叉裂纹尖端能量释放率达到临界值Gθc时开始起裂,Gθc可通过Ⅰ型裂纹断裂韧性KIC求得:

对于不考虑T应力的纯Ⅱ型裂纹,沿层理方位分叉裂纹尖端能量释放率由式(6)得到:

联立式(8) ～式(10),得到沿层理弱面分叉裂纹起裂准则如下:

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代入初始裂纹方位角和层理面方位角几何关系式,可得方向为θ初始微裂纹沿层理分叉后起裂条件:

初始裂纹KII对角度求导计算极值,得到初始裂纹角度中引起岩石破裂临界角θ0:

在该角度下岩石的初始裂纹应力强度因子达到最大,最容易引起岩石破裂。

选取θ0作为层理岩石初始微裂纹角,此时最容易发生沿层理的破坏。

将θ0代入式(12)得到含层理岩石沿着层理起裂应满足的必要条件:

对比式(2),κ可以写成层理角度的函数κ(β),则有:

根据式(3)各向同性材料Hoek-Brown 准则中m参数表达形式,对于含层理的各向异性岩石,m1可以表示为

式中,μ′、σc′、σt′分别为层理面摩擦系数、抗压强度和抗拉强度。

结合式(16)、式(17)进一步改写为

式中,m0为m1中不随层理角度变化部分。

2.2 模型各向异性修正

上述分析中首先考虑层理面足够弱的情况,此时裂纹总是沿层理方向起裂。

但是层状页岩的真实断裂和破坏十分复杂,并不总是呈现沿层理面方向的起裂扩展。

同时,不同层理角度页岩沿层理方向起裂裂纹数量呈现出明显的差异性[21],因此模型修正需要考虑裂纹沿层理和基质同时起裂对参数m的影响。

设Hoek-Brown 准则参数m沿层理起裂和沿基质起裂时分别为m1、m2。

初始裂纹沿基质起裂可以利用各向同性断裂力学分析结果[12],则Hoek-Brown 准则参数m2:

引入修正系数α表征层状岩石初始裂纹沿层理和沿基质起裂扩展的比例,则参数m可以表示为

修正系数α说明层理弱面影响的程度。α值越大,说明受层理面影响沿层理方向起裂的初始裂纹数量越多,此时层理面对各向异性影响越大。

修正系数α 可以通过实验数据拟合得到。

在各向同性岩石Hoek-Brown 准则断裂力学分析基础上,代入式(21)以及不同层理角度的抗压强度σcβ,得到层状岩石各向异性修正式:

修正式是在各向同性Hoek-Brown 强度准则的断裂力学理论基础上发展而来。

认为岩石破坏是微破裂密度达到极限,继承了各向同性Hoek-Brown 强度准则岩石破坏特征量的选择,反映了岩石的细观破坏机理,同时考虑层理各向异性的影响,准则中的相关参数物理意义明确。

2.3 修正系数α 和摩擦系数μ 对m 的影响分析

由上述分析知,式(21)中的参数m具有明确的表达式,其与修正系数α及基质和层理的抗拉强度σt、抗压强度σc、摩擦系数μ、κ、κ(β)值有关。下面将研究修正系数α和层理摩擦系数μ′取不同值时对m的影响。

设m0为4,m2为5,α分别取0、0.5、0.6、0.7、0.8、1 时α的敏感性曲线如图4 所示。

从图4 中看出,当α＜1 时,m曲线随层理角度先减小后增大,在临界角θ0处取得最小值。α对m曲线的幅值影响较大,即不同层理角度下m随修正系数α的减小而增加,并且随着β角的增大,曲线变化幅度随α增加而增加;当α=0 时,m=m2,此时m为常数,等于各向同性基岩的材料参数m2;当α=1 时,m=m1,此时参数m会随层理角度发生较大变化,呈现出更加明显的随层理角度的差异性。

修正系数α反映了层理对岩石的影响程度,从而表征材料参数m的各向异性程度。

图4 参数α 敏感性曲线Fig.4 Sensitivity curve of parameter α

设σ′c/σ′t为5,m2为4,α 为0.8,μ′分别取0.5、0.6、0.7、0.8 时,μ′的敏感性曲线如图5 所示。图5 中显示,μ′取不同值的情况下,m曲线随层理角度先减小后增大,但曲线随层理角度的变化幅度并不明显。

在临界角θ0处取得最小值,因为摩擦系数μ′的变化会改变模型中临界角,因此曲线极小值点的位置并不同。

在相同的β角下,m值随着μ′增加而变大。

因为随着摩擦系数μ′增加,岩石抗剪切的能力和强度都提高。

图5 参数μ′敏感性曲线Fig.5 Sensitivity curve of parameter μ′

由前述推导过程可知,式(17)中的层理相关力学参数的μ′、σ′c、σ′t可以直接测试;κ(β)计算由式(16)知需要已知材料参数θ0,θ0通过式(14)在已知μ′时可计算出来。

同理,m2与基质相关的力学参数μ、σc、σt、κ也可通过实验测定。

除了上述实验方法,还可以通过三轴实验数据拟合得到部分材料参数的近似值。

由于层理面分布在基岩中,且材料性质不同于基岩,很难单独得到层理和基岩的准确材料常数。

因此,选取不同角度的试件进行三轴实验,拟合得到的m最小值和最大值分别作为层理和基岩的材料常数m0和m2的估计值,从而得到修正模型的材料常数m0、m2。

修正系数α 需由拟合得到:

(1) 通过单轴压缩实验得到不同层理角度岩石的单轴抗压强度σcβ;

(2) 通过实验确定m0、m2,再通过三轴实验数据拟合得到μ′,根据式(14)计算得到θ0;

(3) 在确定θ0和m0后,根据式(18)将不同层理角度β代入,得到不同层理角度试件的m0;

(4) 将得到的不同角度试件的m1、m2代入式(22),得到各层理角度试件的修正系数α。

文献[22-25]进行了不同层理角度不同围压下页岩三轴压缩实验,可利用文献中页岩的实验结果对推导的修正模型验证。

其中,实验所用试件页岩1、页岩2、页岩3 取自龙马溪组,页岩4 取自牛蹄塘组。

对层状页岩三轴实验数据进行拟合,得到修正的Hoek-Brown 准则相关参数(表1),进而计算得到不同层理角度页岩试件的修正参数α 及相关系数R2(表2)。

将得到的各个参数代入式(22),可以绘制出两组页岩修正的Hoek-Brown 准则曲线,如图6所示。

与实验结果对比可以看出,拟合的相关系数较高,证明理论与实验结果吻合较好。

同时,对文献[7]中的板岩三轴实验数据进行了模型验证,结果如图7 所示,理论与实验结果吻合较好,证明修正模型对其他层状岩石也具有一定的适用性。

表1 修正的Hoek-Brown 准则相关参数拟合结果Table 1 The determination of parameters for the modified Hoek-Brown criterion

表2 修正的Hoek-Brown 准则三轴压缩实验拟合结果Table 2 Fitting results of modified Hoek-Brown criterion for triaxial compression test

图6 龙马溪组、牛蹄塘组不同层理角度页岩修正的Hoek-Brown 准则曲线及三轴实验结果对比Fig.6 Comparison of modified Hoek-Brown criterion curve with triaxial experimental results for Longmaxi and Niutitang shales with different bedding angles

图7 板岩三轴实验结果、修正的Hoek-Brown 模型及Pietruszezak 模型曲线对比Fig.7 Comparison of modified Hoek-Brown criterion curve with triaxial experimental results and Pietruszezak model curve for slate

在Hoek-Brown 各向异性修正模型中,Pietruszczak[15]基于临界面方法提出的模型具有较为明确的物理意义。

该模型认为层状岩石为横观各向同性体,m随角度的空间分布可写成

式中,a1、a2为与方向无关的系数;Ω0为描述空间分布偏差的二阶张量Ω的主系数,在横观各向同性的情况下可以写成Ω0=Ω11=Ω33。

本文通过不同层理角度的三轴压缩实验得到Pietruszczak 修正模型中拟合的相关系数(表3、表4)。

将本文修正模型的拟合曲线和Pietruszczak 修正模型的拟合曲线及实验结果进行对比(图6、图7),结果显示,本文的各向异性修正模型拟合效果较好,说明本文的各向异性修正模型能够较好地表征层状岩石的各向异性破坏。

表3 Pietruszczak 各向异性模型参数拟合结果Table 3 The determination of parameters for the Pietruszczak modified Hoek-Brown criterion

表4 Pietruszczak 各向异性修正模型对三轴压缩实验拟合结果Table 4 Fitting results of Pietruszczak model for triaxial compression test

本文从各向同性Hoek-Brown 强度准则的断裂力学理论出发,建立了含层理岩石的各向异性Hoek-Brown 强度准则修正模型,并与已有的模型及实验结果进行对比验证,得到以下结论:

(1) 考虑层状岩石中层理弱面对裂纹偏转的影响, 建立了含层理岩石初始微裂纹沿层理起裂应满足的必要条件,引入表征初始裂纹最容易引起基质发生破裂的临界角θ0,得到各向同性Hoek-Brown 强度准则的断裂力学理论中参数κ随层理角度变化关系式,进而建立了层理弱面主导裂纹偏转的参数m1各向异性公式。

(2) 从各向同性Hoek-Brown 强度准则的断裂力学理论出发,对于层理岩石,考虑了断裂参数κ及单轴抗压强度σc随层理角度的各向异性。

引入考虑层状岩石沿层理和沿基质混合破裂的修正系数α,建立了Hoek-Brown 准则各向异性修正模型。

修正模型反映了岩石的微观破坏机理,同时考虑了层理各向异性的影响,准则中的相关参数物理意义明确。

(3) 修正模型中相关参数可以通过实测或者拟合实验数据得到。

将修正模型预测结果与页岩和板岩的三轴压缩实验结果对比,吻合较好。

同时,与Pietruszczak 建立的Hoek-Brown 各向异性修正模型进行比较,反映出该模型对各向异性页岩的强度破坏描述的有效性。

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