以“关系”为径，整体认识运算意义
时间：2022-10-01 11:55:08 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
林红
摘 要：以“关系”为路径学习数学知识，可以从数学结构、数学思想的高度审视小学数学。培养数学中联系起来分析问题，找条件和问题相互间的关系，对数学学习有提纲挈领的作用。“四则运算的意义与关系”一课，从“找关系”入手进行深度学习，有利于建构知识网络，减轻学生记忆知识的负担，提升思维水平。
关键词：找关系;整体认识;提升思维
大百科全书（数学卷）对数学的定义是：研究现实世界数量关系和空间形式的科学，它包括了数的关系、量的关系、形的关系。因此，以“关系”为路径学习数学知识，可以从数学结构、数学思想的高度审视小学数学。培养数学中联系起来分析问题，找条件和问题相互间的关系，对数学学习有提纲挈领的作用。
为了准确把握学生对知识的理解程度，并有效利用学生的学习资源，在“找关系”为学习路径的理念指导下，笔者设计了课前导学单。
笔者把学生答题情况分为三个层次。第一层次：100%的学生六道题能正确列式解答。第二层次：80%的学生能试着用图示或自己的语言表示每一种运算的意义，能写出每一种运算各部分的关系，但由于缺少对运算内部关系的深入思考，所以难以写全各部分所有的关系。第三层次：最后一题，找四则运算相互关系中仅20%的学生能用自己语言表述对加减或乘除之间相反关系的感悟，没有学生对四则运算关系有整体认识。因此，笔者把这节课教学提升点设定为：通过“找关系”能让学生把四则运算的意义联通起来进行整体认识，充分感悟四则运算的内部的关系和相互关系，并能通过实际问题的解决，提高“关系”灵活运用的能力，从中感悟“逆”和“简”两种数学思维方法。
一、题组的对比教学，体验“逆”关系
（一）找“题—图—式”的纵向关系，概括加法意义
从数学逻辑上来分析，建构加减法以及乘法的定义必须从加法切入，所以加法意义的理解是基础。笔者通过对学生课前导学单中第1题作品的收集，整理了图1，引导学生在读清题中的条件和问题的基础上，迁移到与直观图建立联系，数形结合理解图示中每一部分的意思。再比较4个图示的共同点，联系加法算式，学生很自然地感悟到：把两个数合并成一个数的运算叫加法。“逆”向理解：这“一个数”是一个整体，“两个数”是一个整体的两个部分。这样就得出加法算式中各部分的名称和关系：和=加数+加数。“逆”向理解得出另一个关系式：一个加数=和-另一个加数。从整体和部分的关系深入理解加法的意义，还从“逆”的关系角度完整列出加法各部分关系式。
（二）找题组中“条件问题”的横向关系，逆向定义减法意义
通过题组中3道题条件和问题的对比，减法算式中每个数与加法算式中每个数位置的对比，学生概括出减法的意义和内部各部分关系。观察加法算式中的和就是减法中的被减数，加法中的一個加数就是减法中的减数，加法中的另一个加数就是减法中的差。学生深入分析：原来不仅减法各部分之间有联系，加减法各部分之间也能联系起来。看到学生已经有了联系地分析问题的思想与能力，笔者出示学生在导学单中概括出的“从一个数中去掉一部分，求另一部分是多少，叫减法”，让学生辨析：这样概括减法的意义，你们认为可以吗？学生分析：从部分与整体的关系角度来看，也完全是正确的。还有学生分析：一个数其实就是已知两个数的和，一部分就是其中一个加数，另一部分就是另一个加数。书中的定义是从加法逆向思考得到的，这个同学的定义是从减法本身的意义得到的。能从这些角度分析，说明这时学生对加减的意义与关系不仅能互推，而且能融合，对加减法的整体认识很深入。
二、升级运算等级，体验“简”关系
（一）从“加”升级到“乘”，感悟乘法是相同加数连加的简便运算
加减是一级运算，乘除是二级运算，它的优先级比加减高一级，怎样体现进阶的关系呢？在导学单中学生第二组题第一题的解题策略都是乘法，引导学生思考，这道题还能用别的方法解决吗？学生回答：也能用加法，五百五百地数。追问：为什么所有的同学都用乘法做呢？学生回答：因为求4个500的和是多少，用乘法更简便。所以乘法的意义就是求几个相同加数和的简便运算。
数学的发展就是不断地用更有效、更高级的方法代替原有方法的过程。“数—加—乘”算法提升的过程，使解决问题的过程越来越简单。从数学运算的发展来看，乘法比加法高一级，计算效率也提高一步，归根结底是缘于计算的简便。学生搞清楚乘法与加法的联系，就形象类比：就像走台阶一样，有了下面的第一级，才能有上面的第二级，所以乘法是比加法更高级的运算。
导学单中学生出现对乘法意义的另一种归纳：求一个数的几倍是多少，用乘法。怎样把这个学习资源同化到乘法意义中呢？学生分析道：书中的定义是以加法为基础的，更体现了加法到乘法的进阶关系。学生概括的意义就是从乘法的倍数角度，也是对的。还有学生分析：求2的3倍是多少，就是求3个2是多少，也是求几个相同加数和的简便运算，能联系起来的。这样，点联系成了一条线，就把对乘法零散的认识串联起来，对乘法意义的理解更深刻。
（二）从“减”升级到“除”，感悟除法是递减相同减数的简便运算
根据“逆”思维迁移，类推除法意义与各部分关系。除法的“简”也是学生利用“加和乘”的联系推出来的：一个数，如果不断地减相同的数后，没有剩余，就是整除;如果还有剩余，就是有余数的除法。通过“找关系”，联系地分析，有了前面的引导，学生能够沿着这个路径，自己发现和创造出新的结论。
三、关系图是四则运算整体认识的精准表达
整节课开辟了“关系”路径，最后让学生再次尝试导学单的最后一题，用图示表示四则运算的联系。通过学生不断讨论改进后的关系图（图2），全面总结本节课的内容，建立四种运算相互关系路径，沟通思维渠道，为知识建构提供新的视角。
四、“关系”路径的综合应用，感悟价值
（一）课内练习，方法灵活适用
数学书和《作业本》里的练习题思考性很强，只有把所学知识融会贯通，培养学生有联系地分析问题的能力，才能更好解决问题。
1. 关系运用要整体性和熟练性
如：猜猜水果后面藏着几，填一填。
要解决这种题，先要判断各图形在原题里是什么数，应该使用该运算内部的什么关系。在计算过程中最后两小题既有运用运算内部关系，又有“有余数除法”中求被除数要除数乘商还要加余数;还有求除数，用被除数减余数的差才是除数与商的积，强调等号左右“对应”的思想方法，为五年级的方程学习打下基础。
又如：已知★-▲=◆，☆÷◇=△，下面哪些算式是正确的？正确的画“√”，错误的画“×”
（1）★-◆=▲（ ）
（2）▲-◆=★（ ）
（3）◇+△=☆（ ）
（4）☆÷△=◇（ ）
這道题把两种运算放在一起辨析，信息干扰性比较大。其中1、2、4小题直接用运算的内部关系判断，第3题要用到除法和加法的相互关系。解决问题时，关系运用要熟练，对关系的整体认识要强，这样的题符合四年级下册学生的思维水平。
2. 感悟方法的灵活性和适用性
解决看似相同的题，方法的运用可能是不同的，在学生实际解题过程中，不断让学生总结自己的思考方法，选择更合适的方法。
例如：琳琳想了一个数，按下面的指令进行计算，得到的结果是25，琳琳想的数是（ ）。
这道题用“逆推”能高效解题。
又如：进入知识宫的密码是○□○□，请先破译密码。
14+82-○=87
□×6+10=58，
密码是（ ）。
关于○的解法，有的学生用了“被减数=差+减数”的关系，有的学生用了“减数=被减数-差”的关系，这两种方法仅仅是观察角度不同，其本质都可以归结为减法算式内部的各部分关系，○的解法不适用逆推。而□的解法，有的学生回答：我用了“逆”的思考方法，58-10=48 48÷6=8。有的学生回答：我用了“加法各部分的关系”思考。学生不仅会选用合适的方法，而且能清晰地表达自己选用的思考方法，能反映学生头脑内部知识网的建构在应用中体现价值。
（二）拓展数域，知识整体建构向课外延伸
小数、分数的四则运算的运算意义与关系，与整数四则运算的运算意义与关系是完全相同的。打通它们之间的“隔断墙”，为整体性、系统性学习再深入一步。根据学生在导学单里提出的“我想提出的问题：整数的四则运算方法和小数、分数的方法一样吗？”可以让学生猜想，并带着问题进行课后探索，把课堂内的学习向课堂外延伸。
一节概念定义和已有知识梳理的课，通过单元整体架构，挖掘内在联系，渗透数学思维方法，使学生得到深度学习，提升思维水平和语言、图示的多元化表达能力。
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