二次函数在闭区间上的最值问题分析与求解|二次函数在闭区间上的最值问题
时间：2020-03-10 07:26:38 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要 二次函数在闭区间上的最值问题，有四种类型：（1）定轴，定区间；（2）定轴，动区间；（3）动轴，定区间；（4）动轴，动区间。文章对此进行了探讨。 关键词 函数最值 分析 求解
中图分类号：U174 文献标识码：A
Problem Analysis and Solving of the Most Value of Quadratic
Function on the Closed Interval
LIU Huiwen, LIU Ying
([1] Jiangsu Yancheng Technicians" College, Yancheng, Jiangsu 224002;
[2] Mathematics Department, Southeast University, Nanjing, Jiangsu 211189)
Abstract Quadratic function on the closed interval of the most value problem, there are four types: （1）fixed axis, the given interval; （2） fixed axis, dynamic range; （3） moving axes, fixed interval; （4）moving axes, fixed interval.The paper talks about this issue.
Key words most value of function; analysis; solving
二次函数是中学数学最基本、最重要的函数，是中学数学函数内容中的核心知识之一。特别是：二次函数最值，它已渗透高中数学过程各个环节，是历年普通高考、对口高考重点、热点考题。事实上，二次函数最值与抛物线开口方向、定义区间及对称轴有一定关系：当三者确定时，结合图象最值容易求出；倘若三者中有不确定因素，往往需要配方、分类讨论与数形结合。特别是：对称轴与定义区间的相互位置关系的讨论，往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括四种情形：（1）定轴，定区间；（2）定轴，动区间；（3）动轴，定区间；（4）动轴，动区间。
1 定轴，定区间
例1 已知实数, 满足 + = 0，试求 + + 的最大值。
分析：本题关键是，思考将二元函数 + + ，化为一元函数。
解：由 = 得
问题转化为求 = ，当∈[0,3]中的最大值，易求 = = 15。
例2 设, 是方程 + = 0的两实根，求 + 的最值。
分析：本题主要是，设法将二元函数 + ，化为关于的一元函数。
解：由韦达定理知：
+ = 2・ = + + 12
由2 + () = 0有两实根可得它的 ≥0
即 = 4��) = 24 + 72 + 96≥0，解得- 1≤≤4
问题转化为求 = + + 12，当∈[-1,4]时的最值，易求 = = 32， = = 2。
2 定轴，动区间
例3 已知 = + 2在∈[, +1]上的最大、最小值分别为、，求、的解析式。
分析：本题一方面要弄懂、的涵义，另一方面学会分类、分别表示、。
解：对称轴为 = 1，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：
（1） + 1≤1，即≤0时， = = + 2、
= ( + 1) = + 1
（2）≥1时， = ( + 1) = + 1、 = = + 2
（3）＜1＜ + 1，且＜ + ，即＜＜1时，
= ( + 1) = + 1、 = = 1
（4）＜1＜ + 1且≥ + 11，即0＜≤时，
= = + 2、 = = 1
综上，
3 动轴，定区间
例4 求 = + 2在∈[0, 1]上的最小值为。
分析：本题与例3一样，一方面要弄懂的涵义，另一方面分类找。
解：对称轴 = t，分三种情况讨论
（1）t≤0时， = = 0
（2）0＜t≤1时， = = 2
（3）1＜t时， = = 3
综上，
4 动轴，动区间
例5 已知 = ，求 = + 的最小值。
分析：本题应根据条件，将二元函数 = + 化为一元函数。
解：将 = 代入中，得 = + = []2 +
由 = ≥0得≥
= []2 + 的对称轴为 = 3 ，分两种情况：
①≥＞0时，即0＜≤1时，= = + 12
②＜时，即＞1时，= = + 9
综上，
上述四类，几乎涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的所有可能性，不论是正向型还是逆向型，总体解题思路是根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间上，分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。
巩固训练：
（1）设函数 = + + 3在区间[, +1]上的最小值为，求的解析式。
（2）已知函数 = + ，求函数在区间[0 ,1]最大值。
（3）已知函数 = + + 在区间[ ,1]有最小值0和最大值1，求, 的值。
（4）已知二次函数 = + + 1在区间[, 2]上的最大值为3，求实数的值。
（5）设为实数，函数 = 2 + ||，求的最小值。
（6）已知二次函数 = + (≠0)满足下面两个条件：
Ⅰ、 = Ⅱ、对任意∈，均有 =
①求的解析式；
②问是否存在实数, ，使是定义域和值域分别为[, ]和[2, 2]？如果存在，求出, 的值，如果不存在，请说明理由。
（7）求函数 = 在区间[0,2]上的最小值。
（8）求二次函数 = + 在区间[, 2]上的最大值。
（9）求函数 = 在区间[, +1]上的最小值为。
（10）函数 = + + 1在区间[, 2]上是最大值是4，求实数的值。
（11）已知函数 = + 在区间[, ]上的最大值为，最小值，求实数, 的值。
（12）设 = + + 3，当∈[, 2]时恒有≥，求的范围。
变式一：若将≥改为≤时，其它条件不变，求的范围。
变式二：若将≥改为＞时，其它条件不变，求的范围。
变式三：若将∈[, 2]改为∈(, 2)时，其它条件不变，求的范围。
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