[试论数学的真理确定性与教育基础性] 实践是检验真理谁说的
时间：2019-01-25 03:54:25 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】数学的基础性有两个方面。数学的不确定性主要是指作为整个数学理论基础的不牢固，而千百年来已经形成的基本的原理和法则是正确的。数学基础教育主要是让学生学习这些最基本的原理和方法。同时，在运用数学知识解决问题中培养批判性思维。
【关键词】数学基础 确定性 数学教育 批判性思维
On Definite Feature of Truth and Elementary Feature of Education about Mathematics
Tang Huilong
【Abstract】The elementary feature of mathematics includes two aspects. The Indefinite feature of mathematics chiefly refers to the instability as the theory basis of general mathematics; however, the basic principles and laws evolved since hundreds of years are correct. Mathematical elementary education mainly aims at leading students to learn the most elementary principles and methods, meanwhile, to foster the critical thinking by applying mathematical knowledge to solving problems.
【Keywords】Mathematical basisDefinite featureMathematical educationCritical thinking
美国学者M•克莱因的著作《数学：确定性的批判》[1]，揭示了数学发展过程中的困境和数学基础的不牢固性。同时指出：“尽管数学的基础尚不确定，数学家们的理论亦彼此冲突，而数学却已被证明成就辉煌，风采依然。”M•克莱因显然旨在希望人们充分认识到我们所掌握的数学的力量，认识到推理的能力及其局限性。
那么，在数学基础教育中，是否应该让学生了解这种不确定性？或者把握在何种的程度？一些专家学者，已经就这个问题进行了讨论[2]。一个简单的例子：
是否在分数加法中，既要让学生掌握 ，也应该让学生掌握在某些场合中， ？本文通过分
析这个问题的数学关系，就以上问题作些探讨。
1．问题的背景。《数学：确定性的批判》中，M•克莱因举了一个棒球算术的例子：
假设一个运动员在一场比赛中击球3次，有2次击球成功，在另一场比赛中击球4次，有3次击球成功。那么，第一场的平均击中率是 ，第二场的平均击中率是 。两场比赛的平均击中率不是 ，而是 ，即分子相加和分母相加。
M•克莱因以此说明：“只有经验能告诉我们普通的算术何处可应用于给定的物理现象”，“数学中没有真理”。于是，有些数学教育工作者认为，在教学中，不仅要让学生了解普通的分数加法，还需要了解不同的实际问题有不同的分数加法。如“分子相加和分母相加”在统计与概率中常用到[3]。
2．问题的分析。事实上，上面棒球的例子只是说明击中率不适用普通的算术加法，但也不能是“分子相加和分母相加”。如果“第一场的平均击中率是 ，第二场的平均击中率是 ，求两场比赛的平均击中率。”就应该是 。
数学理论有一个从简单对象到复杂对象的多层次抽象的过程，数学中的每一个公式和法则都有其特定的适用范畴，如交换律就不能随意使用。概率的计算有它自己的法则，如加法定理、乘法定理；集合、函数、极限、矩阵的运算也有它们特定的规则。而高一级的运算均以实数的普通四则运算为基础。
3．结论和建议。
3．1数学的确定性。数学真理通常表现为一种“模式真理”。数学大厦是由大大小小的不同分支构成的，它们之间既有联系又有区别，不同的数学知识体系描述了不同的现实模式。我们不能因为甲体系中的法则不适用于乙体系中的运算，而认为数学是不确定的。正如不能用“一群羊加上另一群羊，还是一群羊”去否定“1+1=2”，更不能因为我们自己的错误，而认为数学“真理的丧失”。文[4]提到了这样一个命题：“证明直角等于钝角。”
如图，在矩形ABCD外作与BC等长的线段BE。作DE和AB的垂直平分线，它们相交于点P。连接AP、BP、DP、EP。
∵PA=PB，PD=PE，AD=BE
∴△APD≌△BPE，于是∠DAP=∠EBP
但∠BAP=∠ABP，所以直角DAP=钝角EBA。
作者认为，上述的推理是正确的，但结论显然是错误的，这是由于欧氏几何“一些概念逻辑上的混乱，以致出现了一个数学悖论。”事实上，以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系。设B（a，0），D（0，b），用解析几何方法不难证明kEB＜kPB，直线EB的倾斜角小于直线PB的倾斜角。作为推理依据的图形画错了！
3．2数学的基础性。数学的基础性有两个方面：一是人们几千年来在了解自然、征服自然过程中，为描述自然现象而积累和不断抽象形成的一些基本的概念、公式和法则。它们是我们了解数学，深入认识数学的基础。二是关于整个数学理论的统一的公理化基础，这是像希尔伯特等数学家所追求的目标，罗素悖论和哥德尔不完备定理已告诉我们这一目标不可能实现。这也是我们认为数学不确定性的主要原因。
20世纪60和70年代发生在美国并波及世界的“新数运动”的失败，说明想从数学的公理化基础出发学习数学是不行的。显然，数学基础教育应该以前一个基础为出发点。再一点，只有比较完整的理解和掌握数学的基本体系，才能发现数学理论的缺陷并推动数学的发展。罗巴切夫斯基正是在全面研究欧氏几何的基础上发现了非欧几何；希尔伯特正是作为当时的一位数学大家才提出了完全公理化思想。因此，“数学教学必须在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。”这是我国正在实施的数学课程改革的基本理念之一。也就是说，数学基础教育最主要的任务是让学生学习和掌握千百年来被证明是正确的、作为构建数学大厦的最基本的原理和方法，而不是让学生去怀疑和批判数学的严肃性。
3．3思维的批判性。思维的批判性是思维的智力品质之一。是指思维活动中独立分析和批判的程度，表现为善于独立思考，善于提出疑问，能够及时发现错误，纠正错误[5]。一个典型的案例：
“长方体对角线的长为8，若长、宽、高之和为14，它的全面积是多少？”
大多数学生解答如下：设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，对角线为 。则
而事实上，由
得到196 192，矛盾，说明这样的长方体不存在。
这是思维的批判性品质的体现，是数学教育的目的之一。但是，这种批判性思维建立在数学基本理论的真理性上面，更充分的表现了数学的理性思维。如果通过“ 也可以等于 ”、“ 也可以等于1”进行数学教育，将会造成数学的混乱。
当然，通过某种途径，让学生适当了解数学知识的产生和发展，以及其中曾经发生或仍然存在的困惑和矛盾，有利于深入认识数学，拓展数学视野。但数学教育最基本的任务是使学生充分认识到我们所掌握的数学的力量，认识到推理的能力。
参考文献
1 [美]M•克莱因著.李宏魁译.数学：确定性的丧失[M].长沙:湖南科技出版社,2003
2 尹方平、张智斌．再谈数学确定性的批判[J].数学教育学报.2006.15（1）:60
3 史宁中、吕世虎.对数感及其教学的思考[J].数学教育学报.2006.15（2）:11
4 骆祖英.数学史导论[M].杭州:浙江教育出版社,1996
5 任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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