圆的定义 [导数在中学数学中的应用]
时间：2020-02-25 07:27:23 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】导数是高中新增的教学内容，也是高中数学的基础知识，导数应用广泛。高中数学导数的应用主要体现在研究函数单调性，求函数的极值、最值以及利用导数求曲线的切线方程等方面。
【关键词】导数 切线方程 单调性 最值 极值 不等式
导数是数学分析课程中基本概念之一，它反映了函数的变化率，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。近年来由于课改的的需要，将这一高等数学的内容扩充到中学数学选修部分，而且在近年来的高考中导数内容的比重逐年加大。由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题，求曲线的切线问题提供了一般性方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。导数的应用主要体现在求曲线的切线方程、判断函数的单调性、求函数的极值、最值以及证明不等式等问题，下面举例谈谈运用导数的知识解决这些问题。
一、利用导数求曲线的切线方程
函数f(x)在点x0处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率是f′（x0）。于是相应的切线方程是y一y0= f′（x0）（x一x0）。解决这类问题的关键是求切点和斜率。
（一） 已知过切点，求切线方程
分析：此类问题较简单，求出斜率f′（x0）带入点斜式方程就可以了。
例如：已知曲线f（x）=x3-3x2+1，过点（1,1）作切线，求切线方程。
解:由f′(x)=3x2-6x得k= f′(1)=-3，故所求切线方程为y-1=-3（x-1）即y=-3x+2
（二）已知过曲线外一点，求切线方程
分析：此类问题先判断点是否在曲线上，点在曲线上可用（一）法求解，若点不在曲线上应先设切点，再求切点。
例如：求过点A（1,0）且与曲线y=1x 相切的直线方程。
解：因为点A（1,0）不在曲线上，故设切点为P（x0，y0）则斜率k=y′|x=x0=-1x02
所以切线方程为y-y0=- 1x02 （x-x0）即y- 1x0=-1x02 （x-x0）
又已知切线过点（1,0）所以有0- 1x0=- =-1x02 （1-x0）
解得x0=12 所以y0=2，k=-4切线方程为y-2=-4（x-12)即4x+y-4=0
二、利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）0，则f′（x）>0
所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数 （2）当a>0时，由2x+a x2>0解得x0；由2x+a x20时，函数f（x）在区间（- ∞，-2a ）内是增函数，在区间（-2a ，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数；
（3）当a0,解得0-2a
所以当a2,求证x-1>lnX
证明：构造函数f（x）=x-1-lnx（x>2）则f′（x）=1-1x =x-1x
∵x>2 ∴f′（x）>0 ∴函数f（x）在（2，+∞）内是增函数
∴当x>2时，f（x）=x-1-lnx>f(2)=1-ln2>1-lne=0
∴f（x）>0即x-1-lnx>0 ∴x-1>lnx(x>2)
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是利用导数来研究简单的高次函数和简单超越函数的单调性，极值，最值问题时，把复杂问题变得简单化。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解和运用，能对简单的初等函数进行求导是导数应用的基础，而解决各类问题的一般方法则是导数应用的关键。重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识．
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