用几何画板画圆锥曲线 [利用几何画板探索圆锥曲线性质]
时间：2019-01-10 03:25:09 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 当几个不同对象在某些方面（如特征、属性、关系等）有类同之处，可引导学生合理地联想其他方面也有类同之处，利用变式探索、挖掘、概括、引申获得问题的一般性结果，使特殊问题一般化，零散知识规律化.借助几何画板，可以帮助学生发现数学性质与规律，体验“观察―归纳―猜想―验证”的数学过程.本文系作者利用几何画板探索圆锥曲线性质的一些具体做法，旨在抛砖引玉.
关键词： 几何画板 圆锥曲线性质 探索
问题：抛物线y=2px的焦点F（，0），准线交x轴于N（-，0），过N作抛物线两切线，切点分别是A，B，证明：AB是抛物线的通径.（如图1）
思考1.1：当点M在抛物线准线上运动时，过M作抛物线两切线，切点分别是A，B，显然AB不是抛物线的通径，但AB是否还过焦点？
演示：追踪线段AB，拖动点M，发现MA，MB虽然在变动，但AB恒过焦点F.（如图2）
推论1.1：设M是抛物线C：y=2px的准线上的一点，过M向C作两切线，切点分别是A，B，则直线AB过焦点F.
在证明之前，先证明两定理.
定理1：在抛物线y=2px上一点（x，y）处切线方程为：yy=p（x+x）.
证明：设抛物线的切点为（x，y），抛物线两边对x求导得2y=2p，切线斜率为，切线为：y-y=（x-x），化简可得：yy=p（x+x）.
定理2：过抛物线y=2px外一点M（x，y）作抛物线的两条切线，切点分别为A（x，y），B（x，y），则过切点A，B的直线方程为：yy=p（x+x）.
下面证明推论1.
证明：设抛物线切点A（x，y），B（x，y）抛物线外一点M（x，y），由定理1可得切线l：yy=p（x+x），l：yy=p（x+x），将M（x，y）代入可得l：yy=p（x+x），l：yy=p（x+x），∴A（x，y），B（x，y）是方程yy=p（x+x）的两个解，∴过A（x，y），B（x，y）两点的直线方程是yy=p（x+x）.
证明：点M在准线上，令x=-，由定理2可得l：yy=p（x-），∴l过焦点F（，0）.
思考1.2：当点M在抛物线准线上运动时，是否还有MF⊥AB?
演示：拖动点M，MF，AB虽然在变动，计算k•k，发现保持k•k=-1，说明MF⊥AB.（如图3）
图3
推论1.2：设M是抛物线C：y=2px的准线上的一点，F是其焦点，过M向C作两切线，切点分别是A，B，则MF⊥AB.
证明：由定理1可得k=，k=，k•k=.∵AB是过焦点的弦∴yy=-p∴k•k=-1∴MF⊥AB.
思考1.3：问题中NA⊥NB，当点M在抛物线准线上运动时，是否仍有MA⊥MB？
演示：拖动点M，MA，MB虽然在变动，但计算k•k，发现恒有k•k=-1，说明MA⊥MB.（如图3）
推论1.3：设M是抛物线C：y=2px的准线上的一点，过M向C作两切线，切点分别是A，B，则MA⊥MB.
证明：M（-，y），F（，0），k=，k=，∴k•k=-1.
思考1.4：问题中NF在抛物线对称轴上，当点M在抛物线准线上运动时，AB中点为G，MG显然不在对称轴上，那么与对称轴什么关系？
演示：拖动点M，发现MG平行于抛物线对称轴.（如图3）
推论1.4：设M是抛物线C：y=2px的准线上的一点，过M向C作两切线，切点分别是A，B，若AB中点为G，则MG平行于抛物线对称轴.
证明：由l：yy=p（x-）?圯x=+代入y=2px化简得：y-2yy-p=0?圯y+y=2y，y•y=-p∴G点的纵坐标就是y，与M点纵坐标一样，∴MG平行于抛物线对称轴.
思考2.1：若M在平行于准线的直线x=m上（M在抛物线外）运动时，切点弦AB显然不恒过焦点，那是否恒过定点？
演示：拖动直线x=m，拖动点M，追踪线段AB，发现AB恒过定点F′，且F′就是AB与x轴的交点，度量F′的坐标，发现横坐标与m互为相反数，即F′=（-m，0）.（如图4）
推论2.1：抛物线C：y=2px，过直线x=m（m≠0）上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线，切点分别是A，B，则直线AB过定点F′（-m，0）.
证明：点M（m，y），由定理2可得l：yy=p（m+x）∴l过定点F′（-m，0）.
思考2.2：若M在平行于准线的直线x=m上（M在抛物线外）运动时，是否有MF′⊥AB?
演示：拖动点M在直线x=m上运动，计算k，k，发现k•k≠-1，说明MF′不垂直于AB，但k•k保持常数不变.这个常数是多少呢？（如图5）
推论2.2：抛物线C：y=2px，过直线x=m（m≠0）上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线，切点分别是A，B，则直线AB过定点F′（-m，0），且k•k=.
证明：M（m，y），F′（-m，0），k=，k=∴k•k=.
思考2.3：若M在平行于准线的直线x=m上（M在抛物线外）运动时，是否有MA⊥MB?
演示：拖动点M在直线x=m上运动，计算k•k，发现k•k≠-1，说明MA不垂直于MB，但k•k保持常数不变，且与k•k相等.（如图5）
推论2.3：抛物线C：y=2px，过直线x=m（m≠0）上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线，切点分别是A，B，则k•k=.
证明：k=，k=，k•k=，由定理2可得：l：yy=p（x+m）?圯x=-m，代入y=2px化简得：y-2yy-2pm=0?圯y+y=2y，y•y=2pm可得k•k==.
思考2.4：AB中点为G，若M在平行于准线的直线x=m上运动时，是否仍有MG平行于抛物线对称轴？
演示：拖动点M在直线x=m上运动，发现MG保持平行于抛物线对称轴.（如图5）
推论2.4：抛物线C：y=2px，过直线x=m（m≠0）上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线，切点分别是A，B，若AB中点为G，则MG平行于抛物线对称轴.
证明：由l：yy=p（x+m）?圯x=-m代入y=2px化简得：y-2yy-2pm=0?圯y+y=2y，y•y=2pm∴G点的纵坐标就是y，与M点纵坐标一样，∴MG平行于抛物线对称轴.
思考3：若M在任意一条直线mx+ny=1上运动时，是否还具有上述性质？
演示：任作直线mx+ny=1，在直线上任取一点M，过M作抛物线的两切线，切点分别为AB，追踪切点弦AB，发现恒过一定点F′;度量k•k，k•k，发现不是定值;但AB中点G与M连线MG保持平行于抛物线对称轴.（如图6，7）
推论3：抛物线C：y=2px，过直线mx+ny=1上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线切点分别是A，B，则直线AB过定点F（-，-），若AB中点为G，则MG平行于抛物线对称轴.
证明：M（x，y）是mx+ny=1上任意一点，∴mx+ny=1?圯y=代入切点弦方程yy=p（x+x）得•y=p（x+x），整理得y=npx+（np+my）x，∵M（x，y）∴令np+my=0，y-npx=0得y=-，x==-，∴直线AB过定点F′（-，-）.由l：yy=p（x+x）?圯x=-x，代入y=2px化简得：y-2yy-2px=0?圯y+y=2y，y•y=2px∴G点的纵坐标就是y，与M点纵坐标一样，∴MG平行于抛物线对称轴.
由k=，k=，k•k==，∵x在变化∴k•k不再是定值.
思考4：椭圆与双曲线是否有类似的性质呢？同样均可通过几何画板来演示，结论如下，证明请详见参考文献［3］［4］.
推论4.1：设M是二次曲线C的准线上的一点（不在双曲线渐近线上），过M向C作两切线，切点分别是A，B，则直线AB过准线对应的焦点F，且MF⊥AB，若AB中点为G，则MG过坐标原点.
推论4.2.1：椭圆+=1（a＞b＞0），过直线x=m（m≠0）上在椭圆外部的点M向椭圆引两条切线，切点分别是A，B则直线AB过定点F′（，0），且k•k=，若AB中点为G，则MG过坐标原点.
推论4.2.2：双曲线-=1（a＞0，b＞0），过直线x=m（m≠0）上在双曲线外部且不在双曲线渐近线上的点M向双曲线引两条切线，切点分别是A，B，则直线AB过定点F′（，0），且k•k=，若AB中点为G，则MG过坐标原点.
推论4.3.1：椭圆+=1（a＞b＞0），过直线mx+ny=1上在椭圆外部的点M向椭圆引两条切线，切点分别是A，B，则直线AB过定点F′（ma，mb），若AB中点为G，则MG过坐标原点.
推论4.3.2：双曲线-=1（a＞0，b＞0），过直线mx+ny=1上在双曲线外部且不在双曲线渐近线上的点M向双曲线引两条切线，切点分别是A，B，则直线AB过定点F′（ma，mb），若AB中点为G，则MG过坐标原点.
通过课堂教学的反馈，我发现：利用几何画板探索图形的性质，课堂教学的气氛活跃，课堂教学时时散发出浓浓的现代教学气息，在师生不断地享受一个又一个成功的喜悦的同时，培养了学生积极探索、缜密思维的数学学习精神，也逐步培养了学生优秀的数学思维品质.
参考文献：
［1］徐祖德.用《几何画板》探究图形性质的不变性.中学数学月刊，2009，（8）.
［2］罗碎海.方程x0x+y0y=r2与x2+y2=r2几何背景的探讨.中学数学教学参考，2009，（3）.
［3］王凡，周宏.二次曲线切点弦的一个优美性质.数学通讯，2005，（17）.
［4］袁利江.探讨二次曲线定点弦与切点弦的相关性.数学教学研究，2005，（10）
［5］吴新村.课本一道例题的推广―二次曲线一点处的切线问题.高考数学，2009，（3、4）.同一刊登在本网站的“论文精选”中.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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