数学思维的深刻性_摭谈有效培养学生数学思维的深刻性
时间：2018-12-27 03:28:56 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要： 良好的思维品质既是学生理解知识的必要前提，也是巩固知识重要的心理条件，因此在数学教学中，数学教师要注重培养学生良好的思维品质，这对提高数学教学质量有着十分重要的意义。本文作者结合教学实践，从理清概念的内涵和外延、强化数学语言训练、展示结论得出过程、重视数学解题教学等方面阐述了有效培养学生思维深刻性的问题。
关键词： 思维品质 培养深刻性
数学是思维的“体操”，学生学习数学知识并解决数学问题的过程，就是一个思维活动的过程。要培养学生的数学能力，就必须培养学生的思维能力。人们往往从培养学生的思维品质入手去培养学生的思维能力。数学思维品质是评价和衡量学生思维能力的重要标志。学生如果有良好的数学思维品质，就更能积极主动地进行思考，解决问题更有创造性。新课程改革要求数学教学必须提高学生综合应用知识的能力和培养学生良好的思维品质。思维的深刻性是重要的数学思维品质。它是指在思维活动中能全面深入地思考问题，善于进行抽象概括，能够透过事物的表面现象，洞察到事物的本质，把握住问题的核心，认识其发展规律，并掌握其应用途径。新课标强调：“在解决问题过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。”这说明了思考是内在的深刻的本质的关系。中学数学思维的深刻性，往往表现在对定义、公式、法规、定理的实质及知识之间相互关系的认识水平上，它反映了思维活动中对事物认识的程度，是数学思维个性品质中智力的品质的重要表现之一。在实际数学教学中，人们对思维的深刻性是较为重视的，因为它的确是思维品质的核心。那么，应该怎样有效地培养学生思维的深刻性呢？
一、分析概念的形成结构，理清概念的深刻内涵和外延
概念是反映客观事物本质属性的一种思维形式，它是在感知的基础上，通过分析、比较事物属性的异同，然后抽象而成的。因此，概念是抽象的结果，概念的形成过程，充分体现了思维活动的抽象程度。重视概念的形成过程，分析概念的形成结构，理清其内涵和外延，可逐步培养学生透表及里的抽象能力，增强思维的深刻性。例如在学习反比例函数的图像时，因为之前已学过一次函数的画法，我让学生独立完成反比例函数y= 的图像；很多的学生会把双曲线与坐标轴画成了相交，也会有学生不知道怎么处理，在此被卡住了，教师应善于帮助学生解开这一问题：此时不妨问，若图像与x轴相交，则说明了什么？若图像与y轴相交，则又说明了什么？学生通过提示，知道x≠0，y≠0，所以y= 图像不可能与坐标轴相交，再问图像会过第四象限吗？相信学生能给出正确的答案。从中我们可以看出学生对数学定义，性质都能朗朗上口，但是对于定义、性质却没有仔细地分析和研究，或者说对于某些字、词的理解不深，只注重表面现象，因而要尽可能地引导学生不被事物的表面现象迷惑，要抓住问题的核心，思考事物的本质，学会全面认识事物，这样就能发展思维的深刻性。
再如剖析“线段的垂直平分线”的定义时，我们应该着力分析这一概念的形成结构，让学生真正理解它的内涵：（1）它是一条直线；（2）这条直线过线段的中心；（3）这条直线垂直于这条线段。其中（1）指出了它“是什么”图形，（2），（3）指出了它是“怎样的”图形。在此基础上，还要举例明确其外延，如让学生回答“过线段中点的直线一定是线段的垂直平分线吗？”“和线段垂直的直线一定是线段的垂直平分线吗？”“一条线段的垂直平分线有多少条？”等问题，让学生在辨析中加深理解，使其深刻认识其本质特征。
二、注重语言载体作用，强化深刻的数学语言训练
《新课标》指出：“清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”数学语言与数学思维是紧密联系的。数学问题是靠数学语言来思考和表述的。由此看来，语言是思维的结果，但语言又反作用于思维，准确的语言可导致思路的清晰和思维结果的正确性，如果能在平常养成语言准确严密的习惯，势必能促进思维的深刻性。因此，把数学语言作为培养思维深刻性的载体，引导学生正确地使用数学语言，这是培养学生数学思维深刻性的一项重要措施。在这方面可采用两种方法：
一是经常结合教材，对数学语言的准确性作典型的对比分析与论述，让学生理解语言准确化的必要性。如结合实例让学生区别“乘方”与“幂”、“数”与“数字”、“相似”与“全等”、“正数”与“非负数”、“不全为零”与“全不为零”、“方程的解”与“解方程”、“平方的和”与“和的平方”、“直角”与“90°”、“π”与“3.14159”等，让它们在辨析对比中加深对有关概念和命题论述的理解，以言之有理、言之有据来体验思维的深刻性。
二是结合实例让学生进行准确性评议的训练。如让学生改写题目、作业图形、完善地答题、改正错误等，引导学生正确地使用数学语言，以培养学生思维的准确与深刻。如有题目：“一块长比宽多6米的矩形场地，四周开一条3米宽的道路，而场地所剩下面积与道路的面积恰好相等，求场地的长和宽。”为了让学生进行将实际问题语言“翻译”为数学语言的训练，对题解的途径，可以引导学生作如下描述：如果设场地的宽为m，那么它的长可由假设给出。因路宽为3米，那么道路的面积即可标出，同时所剩场地的长、宽都可标出，继之可将所剩场地的面积标出。这样由题设给出的等量关系便可建立方程。接着再要求学生写出具体的解答步骤。
学生的表述和解答，表明学生能正确理解题意，能正确地将实际问题语言“翻译”为数学语言，且每步思维和运算都有依据，思考问题细致，逻辑性强……这些正是通过准确语言体现思维深刻性的具体表现。
三、展示结论的得出过程，让学生深刻理解结论的实质
《新课标》指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际间题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学中的定理、公式、法则，是具有结论性的内容，它们与数学概念一起构筑起数学大厦。在数学过程中，注重结论的得出过程，让学生展示结论的来龙去脉，让他们掌握结论的实质，这对于加深知识印象、牢固掌握基础知识、增强思维的深刻性将是大有裨益的。
如在“有理数加法法则”的教学中，笔者曾做过这样的比较：在一个班级直接将结论告诉学生，然后即令学生做题，结果学生虽对法则背得滚瓜烂熟，但做起题来仍然举步维艰，思维受阻，错误率高。在另一个班级，注重法则的得出过程，将正、负数分别看作班级赢、输球的个数，零表示不输也不赢，被加数、加数分别表示上、下半场赢输球的个数，和表示全场输赢球的个数。在这种实际背景下，让学生通过：（+5）+（+7），（+5）+（-7），（-5）+（+7），（-5）+（+7），（+5）+0，（-5）+0，0+（-5），0+0这样一组题目，自己总结出加法法则。结果学生做题，思路畅通，准确率高。事实说明结论的得出过程比结论的本身重要。只有把结论的得出过程展示给学生，学生才能真正理解结论的实质，在运用中可以思路开阔、游刃有余。
四、重视数学解题教学，引导学生深入思考
一个人数学思维的深刻程度，在解题中的表现是很充分的。思维深刻的人能深刻地把握题意，从中捕捉大量的信息，及时沟通信息间的内在联系，从而找到解题途径。而思维不深刻的人，他们或者不能发现题目中的全部信息，或者面对一大堆信息，分不清层次，找不到它们内在联系而不能正确地解决问题。为此，教师应重视题解教学，应用解题的机会，教会学生捕捉题目中的全部信息，探索信息间的联系，揭示间题的本质，找寻解题的途径，以达到训练思维深刻性的目的。在这方面，可采取如下措施：
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 （一）注重题目隐含条件的挖掘，引导学生全面思考。
隐含条件是指问题中那些若明若暗、含而不露的已知条件，它往往需要对问题进行深入分析和深刻理解方能明朗化。隐含条件的发掘，可引导学生全面思考问题，是对思维深刻性的很好锻炼。
例如：在题目“解方程 + =0”中隐含条件：x -5x+4，x-4=0，利用这一条件，方程极易求解。如按无理方程的一般解法则要繁琐得多。
对于题目“已知一直角三角形边长是整数，且周长的数值等于这个三角形面积的值，求三边的长”。边长为整数这一条件虽已给出，但却有一定的隐蔽性。当学生在求解中设出三边分别为a，b，c。且列出：
a +b +c …………………（1）a+b+c= ………………（2）
往下却颇感困难。教师可点拨学生：由（2）得
c= -a-b，代入（1）可得a=4+ 。
提问：由a，b为整数，你可得出什么？教师的点拨使学生豁然开朗。
（二）采用变题手段引导学生深入思考。
利用习题的潜在智慧，巧妙地改变习题，恰当地对习题进行演变、引申和拓广，这不但能诱发学生的求解欲望，而且能训练学生的思维能力，引导他们对问题作出深人思考，以培养他们思维的深刻性。
如在“十字相乘法分解因式”的教学中，可以对问题“分解因式”：
（1）2x -5x-12（2）2x -5xy-12y （3）2（m -n） -5（m -n）-12
（4）2a -5a b -12b （5）（x+y） -5（x+y）（2x-y）-12（2x-y）
通过对上述变化了的问题的求解，意在引导学生由浅入深、由表及里、由简单到复杂，层层加码，一步步认识因式分解的本质及十字相乘法分解因式的规律，同时也培养他们由浅入深、由表及里的思维习惯。
（三）特例反驳，辨导对比，引导学生深入思考。
习题教学中，经常引导学生研究含于问题中的特殊情况，特别通过特例反驳、辨异对比的手段，从正反两面引导学生思考，使之臻于完善。
如解方程（a-b）x +（b-c）x+（c-a）=0时，学生往往直接运用求根公式得出x =1，x = ，这时教师可举例反问：“当a=b时，x 还有意义吗？”教师的反问可马上提醒学生：应分a=b，a≠b两种不同情况加以讨论。
又如化简|7+x|＜0，x＜-7时，有的学生一看是没有出现“负”，以为是正数，就这样做：原式=7+x。针对学生的错误做法，教师首先写出正确答案：
原式=|7+x|，①当7+x≥0，即x≥-7时，原式=7+x。②当7+z＜0即x＜-7时，原式=-（7+x）=-7-x。
然后要求学生从对比中找到错误的原因，由于教师引导学生从辨导对比中作出了深刻思考，不少学生惊讶地发现：
=|a|
a（a≥0）-a（a＜0）
五、注重总结归纳，深入挖掘一般规律
学习一章或单元之后，教师应引导学生认真进行归纳总结。其目的，一是为了将知识归纳成系统便于记忆，二是让学生进一步认识该部分知识之间的内在联系及其规律，并从中悟出新知识或新的数学方法，以达到增强思维深刻性的目的。
如在学完“平行四边形、三角形、梯形面积”之后，可引导学生将它们的面积公式归纳为S=0.5（a+b）h。总结归纳出的这一统一面积公式，不仅便于记忆，更重要的是引导学生对这几种图形之间的内在联系作出深刻思考。
再如学过“一元二次方程根与系数之间的关系”之后，可引导学生思考：如果x 、x 为不相等的二实数。且已知x +x =m，x •x =n，那么以此为假设，你能设计什么题目？显然，教师的引导是让学生对韦达定理的应用作出深刻的思考和探索。结果学生总结归纳出了韦达定理的4种应用。显然，学生的探索过程，既是一个创造的过程，更是一个深入思考的过程。
总之，数学教学的本质是“思维过程”。重视思维过程的教学，更应重视思维的深刻性。强化学生显示思维的深刻性意识，不仅有利于增长学生的才干，发展学生智能，培养能力，而且对于优化学生的思维品质，提高数学素质，都有十分重要的意义。
参考文献：
［1］叶立军，方均斌，林永伟.现代数学教学论［M］.浙江大学出版社，2006.
［2］孙晓天，史炳星.走进课堂――初中数学新课程案例与评析［M］.高等教育出版社，2004.
［3］孙桂英.培养学生创造性思维在数学教学中的点滴实践［J］.中学数学教育，2005，（9）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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