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    巧用根的定义解题:大神定义判断解题技

    时间:2019-02-06 03:25:23 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘要:在数学解题中,有时根据已知条件难以求解,但若能利用已知条件构造出相应的一元二次方程,利用根的定义解题,则十分简便,下面列举几例,仅供参考。   关键词:巧用;根的定义;解题
      中图分类号:G633 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)07-0190-01
      
      在数学解题中,有时根据已知条件难以求解,但若能利用已知条件构造出相应的一元二次方程,利用根的定义解题,则十分简便,下面列举几例,仅供参考
      例1 已知5(a-b)+■(b-c)+(c-a)=0且a≠b。求■的值。
      解:已知条件为(■)2(a-b)+■(b-c)+(c-a)=0
      ∴■是一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的一个根,又此方程各项系数之和为零,故此方程另一个根必为1,由韦达定理有:
      ■+1=-■=■,■×1= ■。
      所以,原式=■・■=(■+1)■=5+■。
      例2 已知二次方程ax2+bx+c=0的二根之比为2:3,求证:6b2=25ac。
      证明:设方程二根分别为2k,3k(k≠0),则
       4ak2+2bk+c=0 (1)
       9ak2+3bk+c=0(2)
      (2)―(1)得,k=- ■(3)
      把(3)代入(1)中得:6b2=25ac
      例3 如果a是x2-3x+1=0的一根。求■的值。
      解: ∵a是x2-3x+1=0的根,
      ∴a2-3a+1=0 ,即a2+1=3a
      又由多项式除法有:
      分子=(a2-3a+1)(2a3+a2+3a)-3a=-3a
      ∴原式=- ■=1。
      例4已知■+■-1=0, b4+b2-1=0且■≠0,求■的值。
      解:由根的定义和已知条件知■和b2是方程x2+x-1=0的二不等根,由韦达定理有:
      ■+b2=-1
      ∴原式=b2+■=-1
      例5 已知a2+2a-1=0, b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(■)1996的值。
      解:由题设知a≠0, ∴给第一个方程中各项除以-a2有:
      ■-■-1=0
      由已知条件1-ab2≠0,故有■≠b2
      ∴■和b2是一元二次方程x2-2x-1=0的二不等根。
      ∴■+b2=2,■・b2 =-1
      ∴原式=(b2+■+■)1996
      =[(■+b2)+■]1996=(2-1)1996=1
      例6 已知实数a≠b,且a2-(3+2■)a+1=0,(■+1)b2-(■+1) b=■-1=0,试求■+■之值。
      解:给第二个方程各项乘以(■+1),得
      b2-(3+2■)b+1=0
      ∴由已知条件, a、b是一元二次方程x2-(3+2■)x+1=0的二根,由韦达定理有:
      a+b=3+2■,ab=1
      ∴原式=■=■
       =(3+2■)2-2=15+12■
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