[用构造法巧解中学数学题]有关于构造全等三角形的数学题
时间:2018-12-26 03:29:47 来源:雅意学习网 本文已影响 人
摘要: 本文主要讲述如何运用构造法解决数学问题。通过分析、观察、联想构造出我们熟悉的函数、方程、模型等,使问题的难点转变得简单。 关键词: 构造法 解题 应用 增函数
构造法是运用数学的基本思想,经过认真观察、深入思考,根据需要与可行性构造出题设条件所没有的函数、方程、模型等以沟通题设条件与待求或待证结论的数学方法。其内涵十分丰富。基本方法是:借用一类问题的性质,来研究另一类问题。
通过构造法解决数学问题,能够培养学生观察、分析、联想的思维方法及创造性思维能力。下面通过举例说明用构造法解题的一般思想。
一、构造函数
例1.求证: ≤ ,(a,b∈R)。
分析:上述不等式中的两个式子 , 可看成同一个函数f(x)= ,(x≥0),在|a+b|,|a|+|b|的值。
解:构造函数f(x)= (x≥0)。
先研究f(x)在[0,+∞)上的增减性,设0≤x <x ,
f(x )-f(x )= - = >0
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数。
而|a+b|≤|a|+|b|
∴ ≤
说明:该题的常规解法是分类讨论或平方去掉绝对值,而这里我们通过构造单调的递增函数f(x)= ,x∈[0,∞)使问题简单化。
二、构造方程
例2.设实数x,y,z满足x -yz-8x+6=0y +z +yz-6x+5=0,求x的取值范围。
分析:方程组中有三个未知量x,y,z,而只求x的取值范围,可先设法消元(用x表示y,z)。
解:由
x -yz-8x+6=0
得
yz=x -8x+6①
由
y +z +yz-6x+5=0
得
y +z +yz=6x-5②
式②可化为
(y+z) =6x-5+x -8x+6
得
y+z=±(x-1)③
(由①,③可联想到一元二次方程根与系数的关系,从而构造一个一元二次方程。)
由①,③可知y,z是一元二次方程m ±(x-1)m+x -8x+6=0的两根。
又x,y,z∈R,
∴该方程必有实数解,从而△≥0,
即(x-1) -4(x -8x+6)≥0
可求得
≤x≤
说明:根据题设条件构造出与所求结论相关的方程,易于求解。
三、构造模型
例3.已知 + =1,求证: + =1.
分析: + =1与椭圆标准方程很相似。
证明:构造椭圆 + =1,
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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