参变量根轨迹等效_以纯滞后时间为参变量的根轨迹新性质

　　文章编号：1003-6199(2011)04-0023-06� 　　 　　 摘 要：文献［1］得到一组以纯滞后时间为参变量的根轨迹性质，但在确定根轨迹穿越虚轴的方向、根轨迹的终止点和根轨迹的渐近线的过程中存在错误。本文提出计算根轨迹出射角和入射角的方法，并对文献［1］中存在的错误进行修正。利用根轨迹的性质，可以确定闭环系统的时滞稳定区间。
　　�
　　关键词：根轨迹；纯滞后；稳定性�
　　中图分类号： TP273 文献标识码：A
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　　New Root Locus Properties with Respect to Time Delay
　　
　　��
　　DONG Yu�
　　(School of Computer, South China Normal University, Guangzhou 510631,China)
　　
　　Abstract:A set of root locus properties with respect to the time delay are derived in ［1］. However, there exist mistakes in determining the direction which the root locus crosses the imaginary axis, terminating points of the root loci and asymptotes of the root loci. In this paper, methods to calculate the angles of departure and arrival of the root loci are proposed, also the mistakes found in ［1］ are corrected. Using the root locus properties, the stability delay interval of the closed-loop system is obtained.
　　�
　　Key words:root iocus; time delay; stability
　　�
　　1 引 言�
　　根轨迹法是一种重要的频域分析方法。而纯时滞环节广泛存在于各种生产过程中。文献［2, 3］研究了时滞系统的根轨迹作图法。文献［1］得到了一组以纯滞后时间为参变量的根轨迹性质，但在确定根轨迹穿越虚轴的方向、根轨迹的终止点和根轨迹的渐近线的过程中存在错误。本文以文献［1］的研究为基础，提出了计算根轨迹出射角和入射角的方法，并对文献［1］中的错误进行了修正。此外，根据根轨迹的性质，还可以确定闭环系统的时滞稳定区间。
　　2 系统模型�
　　包含时滞的单位反馈控制系统如图1所示。�
　　�图1 包含时滞的单位反馈控制系统��
　　
　　在图1中，控制系统的开环传递函数为�
　　��G�0(s)=N(s)D(s)e��－τs�(1)�
　　其中�
　　D(s)=s�n+∑n�i=1�a��n－i�s��n－i�(2)�
　　a��n－i�(1≤i≤n)为实常数。�
　　N(s)=∑m�i=0�b�is�i(3)�
　　b�i(0≤i≤m)为实常数，并且b�m≠0。�
　　闭环系统的特征方程为�
　　N(s)D(s)e��－τs�=－1(4)�
　　考虑关于时滞τ的闭环系统的根轨迹，其中0≤τ＜+∞。令s=σ+jω，根轨迹的幅值条件和相角条件如下所述。�
　　‖N(s)D(s)‖e��－τσ�=1(5)�
　　�arg� N(s)D(s)－τω=－(2k+1)π(k∈Z)(6)�
　　设点s为复平面上任一非无穷远点，�arg� s表示点s的辐角，�Arg�s表示点s的辐角主值，并且�
　　－π≤�Arg�s＜π(7)�
　　计算技术与自动化2011年12月
　　第30卷第4期董 宇:以纯滞后时间为参变量的根轨迹新性质
　　
　　
　　如果点s为根轨迹上的单极点，那么在点s处满足�
　　dτds≠0(8)�
　　此时dsdτ表示根轨迹在点s处的切向量。并且�
　　dsdτ=sD(s)N(s)N�′(s)D(s)－N(s)D�′(s)－τD(s)N(s)(9)�
　　如果s为根轨迹上的重极点，那么在点s处满足�
　　dτds=0(10)�
　　此时点s处的dsdτ无定义。
　　3 根轨迹的出射角�
　　定理1［1］:以τ为参变量的根轨迹在有限远处的起始点为方程D(s)+N(s)=0的根。�
　　定理2:设s�a为根轨迹的起始点，r为其重数。以s�a为起始点的第k条根轨迹分支的出射角为α�k，那么�
　　α�k=1r{2kπ+Arg［－s�aD(s�a)A(s�a)］}�
　　 (k=0,1,…r－1)�
　　其中A(s)为关于s的多项式，并且�(s－s�a)��rA(s)=D(s)+N(s)。�
　　证明：由已知条件�
　　α�k=�arg� ��lim� ��s→s�a�dsdτ(11)�
　　将(9)式代入(11)式得�
　　α�k=�arg� ��lim� ��s→s�a�［sD(s)N(s)N�′(s)D(s)－N(s)D�′(s)］(12)�
　　α�k=�arg� ��lim� ��s→s�a�［1�(s－s�a)���r－1�］�
　　 +�arg� ［－s�aD(s�a)A(s�a)］+2k�1π(k�1∈Z)(13)�
　　注意到�
　　�arg� ��lim� ��s→s�a�［1�(s－s�a)���r－1�］�
　　=－(r－1)α�k+2k�2π(k�2∈Z)(14)�
　　将(14)式代入(13)式整理得�
　　α�k=1r{2kπ+�arg� ［－s�aD(s�a)A(s�a)］}�
　　(k=k�1+k�2)(15)�
　　(15)式可简化为�
　　α�k=1r{2kπ+Arg［－s�aD(s�a)A(s�a)］}�
　　 (k=0,1,…r－1)(16)�
　　特别地，若r=1，设此时的根轨迹出射角为α，那么由(16)式得�
　　α=�Arg�［－s�aD(s�a)A(s�a)］(17)�
　　例1：设系统的开环传递函数为�
　　G�0(s)=1(s+1)(s+2)e��－τs�(18)�
　　则根轨迹的起始点为�
　　s��1,2�=－3±j32(19)�
　　设根轨迹的出射角为α��1,2�，由(17)式得�
　　α��1,2�=±π3(20)�
　　例2：设系统的开环传递函数为�
　　G�0(s)=1s�2+2se��－τs�(21)�
　　则根轨迹的起始点为�
　　s��(0)��1=s��(1)��1=－1(22)�
　　设根轨迹的出射角为α��(0)��1和α��(1)��1，由(16)式得�
　　α��(0)��1=－π2(23)�
　　α��(1)��1=π2(24)
　　4 根轨迹穿越虚轴的方向�
　　文献［1］采用以下的方法计算根轨迹穿越虚轴的方向。�
　　设s=jω�0为根轨迹在虚轴的穿越点，计算�ddω�‖N(jω)D(jω)‖��2���s=jω�0�的值。如果值为正，说明根轨迹向右穿越虚轴；如果值为负，说明根轨迹向左穿越虚轴；如果值为零，说明根轨迹与虚轴相切。�
　　上述方法是不正确的。以下是一个反例。�
　　例3：设系统的开环传递函数为�
　　G�0(s)=2s+1e��－τs�(25)�
　　根轨迹在虚轴的穿越点为�
　　s��1,2�=±j3(26)�
　　由于根轨迹关于实轴对称，所以根轨迹在j3处和－j3处的穿越方向是相同的。�
　　但是�
　　�ddω�‖N(jω)D(jω)‖��2���s�1=j3�=－32(27)�
　　�ddω�‖N(jω)D(jω)‖��2���s�2=－j3�=32(28)�
　　(27)式和(28)式说明，根轨迹在j3处和－j3处的穿越方向是相反的。存在矛盾。因此文献［1］提出的方法是不正确的。�
　　正确的计算方法如下所述。�
　　设s=jω�0为根轨迹的穿越点，并且s为单极点。考虑穿越点处的根轨迹切向量的实部��Re� (dsdτ)���s=jω�0�。如果值为正，说明根轨迹向右穿越虚轴；如果值为负，说明根轨迹向左穿越虚轴；如果值为零，说明根轨迹与虚轴相切。�
　　对于例3给出的开环传递函数，可得�
　　��Re� (dsdτ)���s��1,2�=±j3�=3�(τ+1)��2+3τ�2＞0(29)�
　　其中�
　　τ=33(kπ－π3)(k=1,3,5…)�
　　(29)式说明，在±j3处，根轨迹向右穿越�虚轴。�
　　5 时滞稳定区间�
　　根据上节中计算根轨迹穿越虚轴方向的方法，可以确定闭环系统的时滞稳定区间。下面通过一个例子来说明。�
　　例4：设系统的开环传递函数为�
　　G�0(s)=3s+1(s+1)(s+2)e��－τs�(30)�
　　根轨迹在虚轴的穿越点为�
　　s��1,2�=±j(31)�
　　s��3,4�=±j3(32)�
　　经计算得�
　　��Re� (dsdτ)���s��1,2�=±j�＜0 (33)�
　　(33)式说明在±j处，根轨迹向左穿越虚轴。穿越时相应的时滞值为�
　　τ��(k)��1=(2k+1)π(k=0,1,2…) (34)�
　　又得�
　　��Re� (dsdτ)���s��3,4�=±j3�＞0 (35)�
　　(35)式说明在±j3处，根轨迹向右穿越虚轴。穿越时相应的时滞值为�
　　τ��(k)��2=33［((2k+1)π－arctg3313］�
　　 (k=0,1,2…) (36)�
　　注意到τ��(k)��1为等差数列，首项为π，公差为2π；τ��(k)��2为等差数列，首项为33(π－arctg3313)，公差为233π。�
　　为了分析方便，给出下述引理。�
　　引理3：设x为非负实数，定义［x］表示不大于x的最大非负整数，那么�
　　［x+1］＞［x］�
　　引理4：设x,y为非负实数，并且x＞y，那么�
　　［x］≥［y］�
　　上述引理的成立是显然的。�
　　对于任意给定的时滞τ�L，向右穿越虚轴的极点个数为�
　　M=2［τ�L－33(π－arctg3313)233π］(37)�
　　向左穿越虚轴的极点个数为�
　　N=2［τ�L－π2π］ (38)�
　　如果闭环系统是不稳定的，那么�
　　M＞N (39)�
　　由引理3和4，为使(39)式成立，只需下式成立�
　　τ�L－33(π－arctg3313)233π＞τ�L－π2π+1(40)�
　　由(40)式得�
　　τ�L＞8.0636 (41)�
　　8.0636可以看作是临界时滞的上界。进一步的分析可得：闭环系统的时滞稳定区间为(0,1.5943)∪(3.1416,5.2219)。�
　　当τ=1.5943、3.1416和5.2219时的闭环系统输出响应如图2所示。�
　　�（�a�) τ=1.5943时的输出响应�
　　�(�b�) τ=3.1416时的输出响应�
　　�(�c�) τ=5.2219时的输出响应��
　　
　　6 根轨迹的终止点�
　　定理5［1］：以τ为参变量的根轨迹终止于坐标原点，位于左半平面的开环零点和位于右半平面的开环极点。�
　　在定理5中，“根轨迹终止于左半平面的开环零点和右半平面的开环极点”这一结论是正确的，但“根轨迹终止于坐标原点”这一结论不正确。以下是一个反例。�
　　例5：采用例4中的开环传递函数�
　　G�0(s)=3s+1(s+1)(s+2)e��－τs� (42)�
　　由例4的分析，当τ→+∞时，根轨迹的终止点位于右半平面。由于不存在位于右半平面的开环极点，根据定理5，根轨迹从右侧终止于坐标原点。即当τ→+∞时，有�
　　σ→0�+ (43)�
　　因此�
　　e��τσ�＞1 (44)�
　　将(44)式代入根轨迹的幅值条件得�
　　‖N(0)D(0)‖＞1 (45)�
　　根据系统的开环传递函数，(45)式是不成立的。因此“根轨迹终止于坐标原点”这一结论不�正确。��
　　根轨迹的终止点由下述定理给出。�
　　定理6：根轨迹终止于左半平面的开环零点，右半平面的开环极点以及虚轴。�
　　证明：显然，无穷远点不是根轨迹的终止点。�
　　考虑(6)式所描述的相角条件。当τ→+∞时，只需令k→+∞，即可满足要求。�
　　左半平面的开环零点和右半平面的开环极点都满足(5)式所描述的幅值条件，所以它们都是根轨迹的终止点。除去左半平面的开环零点和右半平面的开环极点，虚轴以外的点都不满足幅值条件。另一方面，根轨迹有无穷多个终止点，而开环零极点的总数为有限多个，因此必有无穷多个终止点位于虚轴上。�
　　由幅值条件，容易得到下述两个定理。�
　　定理7：如果τ→+∞时闭环系统包含无穷多个不稳定极点，那么虚轴上满足‖N(jω)D(jω)‖＞1的点为根轨迹的终止点。�
　　定理8：如果τ→+∞时闭环系统包含无穷多个稳定极点，那么虚轴上满足‖N(jω)D(jω)‖＜1的点为根轨迹的终止点。�
　　继续例5的讨论。由定理6和定理7，虚轴上满足1＜ω＜3的点为根轨迹的终止点。此外，开环零点－13也是根轨迹的终止点。
　　7 根轨迹的入射角�
　　下述定理给出了确定根轨迹入射角的方法。�
　　定理9：若s�b≠0为根轨迹的终止点，相应的入射角为β，那么β=Arg(s�b)；若s�b=0为根轨迹的终止点，那么相应的入射角为任意值。�
　　证明：令t=1τ，根据闭环系统的特征方程，计算s对t的导数得�
　　dsdt=－st•D(s)N(s)t［N�′(s)D(s)－N(s)D�′(s)］－D(s)N(s)(46)�
　　根轨迹的入射角由下式确定�
　　β=�arg� ��lim� ��s→s�b�dsdt (47)�
　　根轨迹上的点满足�
　　D(s)N(s)≠0 (48)�
　　由(46)、(47)和(48)式得�
　　β=�arg� ��lim� ��s→s�b�st (49)�
　　若s�b≠0，由(49)式得�
　　β=�arg� (s�b) (50)�
　　(50)式可简化为�
　　β=Arg(s�b) (51)�
　　若s�b=0，由(51)式，β的值为任意值。�
　　例6：采用例4中的开环传递函数�
　　G�0(s)=3s+1(s+1)(s+2)e��－τs� (52)�
　　虚轴上满足1＜ω＜3的根轨迹终止点的入射角为π2；虚轴上满足－3＜ω＜－1的根轨迹终止点的入射角为－π2；终止点－13的入射角为－π。8 τ→0�+时根轨迹的渐近线�
　　定理10［1］：当τ→0�+时，有无穷多条根轨迹起始于无穷远点。�
　　文献［1］中的定理5和定理6描述了τ→0�+时根轨迹的渐近性质。在证明这些定理的过程中，使用了这样的关系：当s→+∞时，令�
　　s=σ+jω (53)�
　　由于复变量s在∞点处的实部和虚部无意义，因此(53)式不成立，从而定理5和定理6的证明过程不成立。�
　　讨论根轨迹的渐近性质需要采用复分析方法。下面给出τ→0�+时根轨迹的渐近性质。�
　　定理11：假设m≠n。当τ→0�+时，根轨迹的渐近线是水平线。�
　　证明：令�
　　s=1z (54)�
　　设当τ→0�+时，根轨迹渐近线的倾斜角为γ，那么�
　　γ=�arg� ��lim� ��z→0�dzdτ (55)�
　　将(54)式代入闭环系统的特征方程，可得�
　　dzdτ=zA(z)［(n－m)z+τ}A(z)+z�2B(z) (56)�
　　其中�
　　A(z)=P(z)Q(z)�
　　B(z)=P(z)Q�′(z)－P�′(z)Q(z)�
　　P(z)=∑�n－1��i=0�a�iz��n－i�+1�
　　Q(z)=∑m�i=0�b�iz��m－i��
　　将(56)式代入(55)式得�
　　γ=�arg� (1n－m) (57)�
　　如果n＞m，那么�
　　γ=2kπ(k∈Z) (58)�
　　如果n＜m，那么�
　　γ=(2k+1)π(k∈Z) (59)�
　　综上所述，当τ→0�+时，根轨迹的渐近线是水平线。�
　　定理12：假设m=n。定义�
　　B(z)=z�pF(z)�
　　其中p为非负整数。设当τ→0�+时，根轨迹渐近线的倾斜角为γ，那么�
　　γ=1p+2［2kπ+ArgA(0)F(0)］�
　　 (k=0,1,…p+1)�
　　证明：如果m=n，由(56)式得�
　　dzdτ=zA(z)τA(z)+z��p+2�F(z) (60)�
　　将(60)式代入(55)式得�
　　γ=�arg� ��lim� ��z→0�z��－(p+1)�+�arg� A(0)F(0)+2k�1π�
　　 (k�1∈Z) (61)�
　　注意到�
　　�arg� ��lim� ��z→0�z��－(p+1)�=－(p+1)γ+2k�2π�
　　 (k�2∈Z) (62)�
　　将(62)式代入(61)式并整理得�
　　γ=1p+2［2kπ+�arg� A(0)F(0)］�
　　 (k=k�1+k�2) (63)�
　　
　　(63)式可简化为�
　　γ=1p+2［2kπ+ArgA(0)F(0)］�
　　 (k=0,1,…p+1) (64)��
　　9 结束语 �
　　本文获得了一系列以纯滞后时间为参变量的根轨迹新性质。利用这些性质，可以确定根轨迹的出射角和入射角、根轨迹穿越虚轴的方向、时滞稳定区间、根轨迹的终止点和根轨迹的渐近线。这些性质可看作是文献［1］所做研究的修正和补充。
　　参考文献�
　　［1］ 刘洪源, 左志强, 金一晶. 以纯滞后时间为参变量的根轨迹研究［C］// 第二十五届中国控制会议论文集. 2006: 50-55.�
　　［2］ YEUNG K S, WONG W T. Root�locus plots of systems with time delay［J］. Electronic Letters, 1982, 12(5): 480-481.�
　　［3］ HONG I, BIEN Z. A Root�locus technique for linear systems with time delay［J］. IEEE Trans. on Automatic Control, 1982, 27(2): 205-208.
　　
　　收稿日期：2011-08-31�
　　
　　作者简介：董 宇(1974―），男，广东广州人，讲师，博士，研究方向：计算机控制(E-mail：dongwl@scnu.省略)。

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