发掘对称性,快速巧求解:利用对称性力法求解
时间：2020-02-23 07:27:18 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学中存在着大量对称的形与式,不过有些问题中的对称性是比较隐蔽的,在求解相关的问题时,如果能够注意寻觅和发掘或通过变形构造出对称关系,则可以收到事半功倍的效果,达到快速简捷求解的目的.下面举例说明,相信会对同学们有所启迪.
例1 设A、B两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的两个相交圆的交点,并且点A的坐标为(-4, 5),求点B的坐标.
解析 乍一看本题似乎缺少条件,无法求解.如果我们仔细分析就会发现题中隐含的对称性,这样问题便可迅速获解.
如图1,设B点的坐标为(x, y),则由题设可知AB垂直于直线3x-2y+5=0.又点A的坐标为(-4, 5),所以直线AB的方程为y-5=-23(x+4).
解方程组
y-5=-23(x+4),
3x-2y+5=0. 得直线AB与直线3x-2y+5=0的交点坐标为(-113, 3113).
由对称性知,(-113, 3113)为AB的中点,于是可得B点的坐标为(5013, -313).
例2 四边形ABCD面积为S,
求证：S≤AB•CD+BC•AD2.
解析 三角形面积不大于其任意两边之积的一半,观察不等式的右边可想到,如果能够把AB、AD(或BC、CD)调换位置,则结论很容易证明.
如图2,以BD的中垂线为轴作△BCD的对称图形△BC1D,则有：
AB•CD+BC•AD2=AB•BC1+AD•DC12≥S△ABC1+S△ADC1=SABC1D=SABCD=S.
例3 设有一直角∠QOP,试在OP边上求一点A,在OQ边上求一点B,在直角内求一点C,使BC+CA等于定长L,且使四边形ACBO的面积最大.
简析 如图3,显然难于直接确定点C的位置,若利用对称性,把四边形ACBO补成一个八边形,其周长为4L,是定值.由对称性知,要使四边形ACBO的面积最大,必须使此八边形面积最大.
由命题“周长一定的凸n边形中,以正n边形的面积为最大”,可知当八边形为正八边形时,四边形ACBO的面积最大.此时点C为正八边形的一个顶点,正八边形的边长为L2,易得正八边形外接圆半径R=4+224L,于是据此可确定A、C、B的位置.
例4 方程组 x+y+z=6, ①
xy+xz+yz=11,②
xyz=6. ③
解的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
解析 显然方程组关于x、y、z对称,其结果也应关于x、y、z对称.
若方程组只有一组解.则必有x=y=z,此时由①有x=y=z =2,代入②、③均不成立,故选项A错误.
若方程组有两组解,则与方程组关于x、y、z具有对称性矛盾,故选项B错误.
若方程组有三组解,不妨设x=y ≠ z,此时由①可得z=6-2x,代入②得3x2-12x+13=0.
但由于Δ=-12
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