高考圆锥曲线50大结论【圆锥曲线解题之道(下)�】
时间：2020-02-23 07:25:00 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在高考中，解几综合问题常出现于后三题之中，是历届考生最为害怕的一题，也是考生能否超越120分的分水岭，其运算量之大、关系之复杂，常令人望而却步.如何才能顺利地答好这一题？本文试从审题的角度，对该类问题作一番探讨，以便交流.�
一、顺审条件 明察秋毫�
顺着题意，捕捉题中所给的条件，然后将所得的条件整理、重组、演变，最后得到其与结论之间的联系，即为解题过程.在这过程中，捕捉条件尤为重要，不但要审全条件，更要审清条件，要看到条件的表面，更要看到条件背后隐藏的意义，才利于解决问题.�
1．忖度条件，回归基本�
题中给出的每一个条件实际上为一个思路提示，善于忖度这些提示，常可得到很多帮助.�
例1 (1)(2011年湖南卷)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．求动点P的轨迹C的方程.�
(2)(2009年辽宁卷)已知椭圆C经过点A(1,32)，两个焦点为(-1,0),(1,0)，求椭圆C的方程.�
审题：(1)途径一：顺着题意，设P(x,y)，有(x-1)�2+y�2-|x|=1，化简即可.�
途径二：联想条件，由于直线x=-1与y轴的距离恰好等于1，题意即说点P到定点F(1,0)的距离等于到定直线x=-1的距离，即为抛物线y�2=4x，而y=0(x＜0)也满足题设，于是得解.�
(2)途径一：待定系数，设椭圆C:x�2a�2+y�2b�2=1(a＞b＞0)，将点A代入，与b�2=a�2-1联立可解得a�2=4或a�2=14(舍去)，即得x�24+y�23=1.�
途径二：联想定义，可得2a=［1-(-1)］�2+(32)�2+［1-1］�2+(32)�2=4，即a=2，则b�2=a�2-1=3，从而获解.�
评注：本题涉及的题型较为基础，也是高考中的常考题型，解决这类问题只需审清题意，依据题意代入或翻译或稍作加工，即可得到问题的答案.�
2．图化条件，数形结合�
圆锥曲线问题是描述数量关系与图形结构的典范，若只从数量上进行运算，难以明确解题方向，若能借助图形，将条件图形化，可达到化抽象为直观、化难为易的效果.�
例2 (2011年广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.�
(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；�
(2)已知T(1,-1),设H是E上的动点,求�|HO|�+|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标;�
(3)过点T(1，-1)且不平行与y轴的直线l�1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l�1的斜率k的取值范围.�
审题：将条件图形化.�
图1
(1)如图1，得点A�(-2,�0)，设P(-2,m).�
①当m=0时，点P与A重合，OP的垂直平分线为x=-1，∠AOP=∠MPO=0知，M(-1,0).�
②当m≠0时，设M(x�0,y�0).�
(�)若x�0＞-1，∠MPO=∠AOP，说明MP//OA，有y�0=m，算得k��OP�=-m2，OP的中点(-1,m2)，即OP：y-m2=2m(x+1)，代入点M及y�0=m，便得y�2�0=4(x�0+1)(x�0＞-1);�
(�)若x�0＜-1，如图1，∠MPO=∠AOP说明点M为OP的垂直平分线与x轴的交点，在OP：y-m2=2m(x+1)中，令y=0，有x=-m�24-1＜�-1�，这就得到了E的方程为y�2=4(x+1)(x≥�-1)�，y=0(x＜-1).�
图2
(2)顺着图1，擦去无关的PM与OP的垂直平分线，添上轨迹E及HO、HT，由抛物线的定义联想到作HG垂直准线x=-2于点G，调整点H的位置，使得折线GHT演变为线段TF(如图2)，�
即得|HT|+|HG|≥|TF|=3，在y�2=4(x+1)中，令y=-1也就得到了点H(-34,-1).�
(3)在图2中，过点T试着画几条线，发现过点B与否甚为关键，是产生两个交点或三个交点的临界点，算得k��BT�=-12，观察该图即得k≤-12或k＞0.�
评注：该题为2011年广东高考文科数学的压轴题，从以上的分析可以看到，我们付出的劳动非常少，只是将题意按其说法添上图形，然后观察图形，用好这些图形，即可自然地解决问题.由方程联想到图形，由图形又联想到方程，在数与形的转化过程中也就解决了问题，就是数形结合的精妙之处.�
3．退化条件，先猜后证�
与定点、定值及对称相关的问题，若直接考虑，难度较大，这时我们可以采用“以退为进”的策略审题，用好条件的特殊情形，先猜得结果再引入参数，设法消去所引入的参数即可证得一般情形下的结果.�
[JP3]例3 (1)(2010年四川卷•理改编)已知定点A(-1，0)，F(2，0)，[JP]定直线l：x＝12，过点F的直线与曲线x�2-y�23=1(x≠0)交于B，C两点，直线AB，AC分别交l于点M，N，试判断以线段MN为直径的圆是否过定点F，并说明理由.�
(2)(2007年湖南卷•理改编)已知直线l过双曲线x�2-y�2=2的右焦点F，且与双曲线相交于A，B两点．在x轴上是否存在定点C，使得�CA�•�CB�为定值？并说明理由.�
(3)(2010年安徽卷•理改编)已知椭圆E:x�216+y�212=1经过点A(2，3)，椭圆的左、右焦点分别为F��1�，F��2�，直线l是∠F�1AF�2的角平分线.�
(�)求直线l的方程；�
(�)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？并说明理由.�
审题：(1)退化条件，从直线BC⊥x轴入手，由x=2与x�2-y�23=1联立解得B(2,3),C(2,-3)，从而AB的方程为y＝x+1,与x=12联立得M(12,32)，[JP3]则�FM�=(-32,32).同理�FN�=(-32,-32).有�FM�•�FN�=0，说明以线段MN为直径的圆是过定点F.受此启发，当直线BC与x轴不垂直时，[JP]设BC的方程为y＝k(x-2)(k≠0)，与双曲线的方程联立消去y得(3-k)�2x�2＋4k�2x-(4k�2＋3)＝0，求交点有难度，借用韦达定理帮忙.设B(x�1,y�1),C(x�2,y�2)，则x�1+x�2=4k�2k�2-3，�x�1x�2=4k�2+3k�2-3，y�1y�2＝k�2(x�1-2)(x�2-2)＝�k�2［x�1x�2-�2(x�1＋x�2)＋4］＝-9k�2k�2-3，而直线AB：y＝y�1x�1+1(x＋1)，M(12,3y�12(x�1+1))，�FM�=(-32,3y�12(x�1+1)).同理�FN�=(-32,3y�22(x�2+1)).此时�FM�•�FN�=�(-32)��2+9y�1y�22(x�1+1)(x�2+1)=0，也说明以线段MN为直径的圆是过定点F.�
(2)退化条件，从直线l⊥x轴入手，这时由x=2与x�2-y�2=2联立解得A(2,2),B(2,-2)，设C(m,0)，有�CA�•�CB�=�(2-m)��2-2，再取一条特殊直线y=2(x-2)，与x�2-y�2=2联立得3x�2-16x+18=0,方程难解，引入韦达定理.设A(x�1,y�1),B(x�2,y�2)，有x�1+x�2=163,x�1x�2=6，�CA�•�CB�=(x�1-m)(x�2-m)+4(x�1-2)(x�2-2)=m�2-163m+103，要�CA�•�CB�为定值，必有m�2-163m+103=�(2-m)��2-2，解之，得m=1，仿照(1)的设而不求的方法，可得存在定点C(1,0)，使�CA�•�CB�=-1(定值).�
(3)(�)先求直线AF�1与AF�2的方程，然后设P(x,y)为l上任一点，由点P到两直线的距离相等即可求得直线l的方程为2x-y-1=0(详解略)；(�)若存在两点B(x�1,y�1)，C(x�2,y�2)满足题设，以退为进，尝试一点B(0,2[]3)，则直线BC：y=-12x+2[]3，与x�216+y�212=1联立，检验B，C的中点是否在直线l上即可(当解方程遇到困难时可引用韦达定理)，稍作推广，设BC：y=-12x+b即可类似地解决问题.�
评注：善于“退”也是一种行之有效的审题方法，退可以看到结果，更可明确解题思路.�
二、逆审结论 高瞻远瞩�
圆锥曲线的结论一般较为简洁，但是若能细心、严格地逆向审视之，通常也可以得到不少关键的提示，可从更高的层次上认清问题的本质，进而解决问题.�
例4 (1)(2011年上海卷•文改编)已知点P是椭圆x�2m�2+y�2=1(m＞1)上的动点，M是椭圆的右顶点，定点A的坐标为(2,0)，若|PA|的最小值为�|MA|�，求实数m的取值范围.�
(2)(2011年全国卷Ⅰ•理改编)已知点P为曲线C:y=14x�2-2上的动点，l为C在P点处的切线，求原点O到切线l距离的最小值.�
(3)(2008年福建卷•文改编)已知直线l过椭圆x�24+y�23=1的右焦点F且与椭圆交于A，B两点，点C的坐标为(3,0)，求△ABC面积的最大值.�
审题：(1)由题意可得M(m,0).设P(x,y)，则[JP3]�|PA|�2�=(x-2)�2+y�2=(x-2)�2+1-x�2m=m�2-1m�2(x-2m�2m�2-1)�2-4m�2m�2-1+[JP]5(-m≤x≤m)，结论“|PA|的最小值为|MA|”，说明当x=m时，|PA|�2取得最小值，也即该二次函数的对称轴x=2m�2m�2-1在m的右边，故2m�2m�2-1≥m，再结合m＞1可解得1＜m≤1+2.�
(2)由结论出发，需求得直线l的方程，于是联想到用导数法求曲线的切线方程.设P(x�0,y�0)，y′=12x，则l:y-y�0=12x�0(x-x�0)，又y�0=14x�2�0-2，代入整理得2x�0x-4y-x�2�0-8=0，d=12x�2�0+8x�2�0+4=12(x�2�0+4+4x�2�0+4)≥2.�
(3)从结论入手，设A(x�1,y�1),B(x�2,y�2)，且y�2＜0＜y�1，S��△ABC�=S��△FCA�+S��△FCB�=12×|FC|×|y�1|[JP3]+12×|FC|×|y�2|=y�1-y�2=(y�1+y�2)�2-4y�1y�2[JP]，由此需设AB:x=ty+1，与x�24+y�23=1联立消去x得(3t�2+4)y�2+6ty-9=0，将y�1+y�2与y�1y�2的值代入得S��△ABC�=12t�2+13t�2+4,这时需处理t�2+1,令λ=t�2+1≥1，则S��△ABC�=12λ3λ�2+1=123λ+1λ，3λ+1λ≥2[]3，当λ=33时取等号，而λ≥1，等号取不到，转为研究函数f(λ)=3λ+1λ在［1,+
�SymboleB@ )上的单调性，由f ′(λ)=3-1λ�2＞0知，其单调递增，故当λ=1，即t=0时，(S��△ABC�)���max��=3.�
评注：有些问题，若能从结论出发实施审题，常可找到更明确、更优质的解答.�
三、终审全局 豁然开朗�
当遇到关系较为复杂的圆锥曲线问题时，有时从条件或结论单方面入手审题也难于奏效，这时我们不妨尝试将条件与结论结合在一起审查，往往可以收到更好的效果.�
例5 (2011年广东卷•理)在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y=14x�2,实数p,q满足p�2-4q≥0,x�1,x�2是方程x�2-px+q=0的两根，记�φ（p，q）�=�max�{|x�1|,|x�2|}.�
(1)过点A(p�0,14p�2�0)(p≠0)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有�φ(p,q)�=|p�0|2.�
(2)设M(a,b)是定点，其中a,b满足a�2-4b＞0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线l�1,l�2，切点分别为E(p�1,14p�2�1)，E′(p�2,14p�2�2),l�1,l�2与y轴分别交与F,F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b)∈X�|p�1|＞|p�2|�φ（a，b）=|p�1|2.�
(3)设D={(x,y)|y≤x-1,y≥14(x+1)�2-54}.当点(p,q)取遍D时，求φ（p，q）的最小值(记为φ���min��)和最大值(记为φ���max��).�
审题：(1)先以退为进，取p�0=1，结论变为φ(p,q)=12，即方程x�2-px+q=0的两根的绝对值的最大值为12，回到条件，则AB:y=12x-14，有q=12p-14，而B(0,-14)，则0≤p≤1，而方程x�2-px+12p-14=0的两实根x��1,2�=p±|p-1|2=p±(1-p)2，证一下|p-(1-p)2|≤12即可，再作一般化即可.�
图3
(2)条件a�2-4b＞0说明M(a,b)在抛物线L的下方，如图3：�
①当a＞0,b≥0时，若M(a,b)∈X，则p�1＞p�2≥0，得|p�1|＞|p�2|；�
若|p�1|＞|p�2|，有M(a,b)∈X，∴M(a,b)∈X�|p�1|＞|p�2|．�
②当a＞0,b＜0时，点M(a,b)在第二象限，也有M(a,b)∈X�|p�1|＞|p�2|．�
由对称性可知，当a＜0时，M(a,b)∈X�|p�1|＞|p�2|.反之，由(1)知，点M在直线EF上，方程x�2-ax+b=0的两根x��1,2�=p�12或a-p�12.�
同理点M在直线E′F′上，方程x�2-ax+b=0[JP2]的两根x��1,2�=p�22或a-p�22，若φ(a,b)=|p�12|，则|p�12|[JP]不比|a-p�12|，|p�22|，�|a-p�22|�小，∴|p�1|＞|p�2|.�
又|p�1|＞|p�2|�M(a,b)∈X，�
∴φ(a,b)=|p�12|�M(a,b)∈X.�
又由(1)知，M(a,b)∈X�φ(a,b)=|p�12|.�
于是φ(a,b)=|p�12|�M(a,b)∈X.�
∴原题得证.[LL]
(3)画出区域D，观察有0≤p≤2，过点(p,q)作直线与抛物线L切于点(x�0,14x�2�0)，�
则14x�2�0-qx�0-p=12x�0，�
解之，得x�0=p+p�2-4q.�
又q≥14�(p+1)��2-54，�
即p�2-4q≤4-2p，∴x�0≤p+4-2p.�
设4-2p=t，�
则x�0≤-12t�2+t+2=-12(t-1)�2+52≤52，即φ���max��=|x�02|���max��=54，�
由q≤p-1，有x�0≥p+p�2-4p+4=p+|p-2|=2，即φ���min��=|x�02|���min��=1．�
评注：本题为2011年广东高考理科数学的压轴题，全省19万多份考卷，空白卷占了12万多份，平均分0.56分，可见考生审题能力与意识之薄弱.时间不够与找不到解题的入口为考生压轴题得分低的两个主要原因，其实时间不够也是由于缺乏审题研究所致，前面的题审题意识不强，影响所采用方法的优劣，最终影响全卷的答题时间.�
审题是解题的心脏，对题中给出的条件与结论审全、审细、审到位了，解题也就水到渠成.
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