2001-2010年我国人口增长的数学模型研究与实证分析 我国人口增长的特点
时间：2019-01-10 03:23:12 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文首先建立了我国人口增长的数学模型，给出了模型中参数的确定方法，并用2001―2009年的人口数据得到了我国人口增长的数学模型。最后用该模型预测了2011―2015年我国的人口总数。
关键词： 人口问题 人口增长 数学模型 实证分析
一、引言
当今人类面临的五大问题：（1）人口问题；（2）工业化的资金问题；（3）粮食问题；（4）不可再生的资源问题；（5）环境污染问题（即生态平衡问题），人口问题名列榜首。一些发展中国家的出生率较高，众多的人口使国家背上沉重的包袱，人均粮食不足，人均资源不足，工业化资金有限、生态平衡被严重破坏，等等，都与人口太多有关。而欧洲一些发达国家（如法国、德国等，人口增长率为零甚至为负，造成人口老龄化，劳动力短缺，也是不容忽视的问题。建立人口增长的数学模型，用以描述人口增长过程，通过分析，对人口增长进行预测，为国家制定相应的人口政策提供依据，以控制人口增长，于国于民均有利。
二、人口增长的数学模型
影响人口增长的因素很多：人口基数，出生率和死亡率的高低，人口男女比例的大小，人口年龄组成情况，工农业生产水平的高低，营养条件、医疗水平、人口素质、环境污染情况。另外，各个民族的风俗习惯、传统观念、自然灾害、战征、人口迁移，等等，对人口增减也有很大影响。
我们先把问题简化，仅考虑影响人口增长的主要因素――出生率与死亡率，或者说增长率（出生率减去死亡率）及人口基数，其余因素的影响不予考虑，建立一个简单的数学模型，如果需要，再在这个模型的基础上逐步考虑次要因素，进而建立精度更高的模型。
人口的增长过程我们用微分过程来描述，虽然人口总数是按照整数变化的，且不是时间的可微函数，但是，如果总数很大时，就可以近似地认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。这种处理方法，数学上称为离散变量的连续化处理。
设某区域在时刻t（以年为单位）的人口数为p（t），这个区域的出生率为b，死亡率为d，经过时间△t，在这段时间内出生人数为bp△t，死亡人数为dp△t，总人口的改变量为△p=（b-d）p△t，当△t→0时，有=（b-d）p，其中b-d不能假设为常数，否则我们将得出人口数将无限增加（当b＞d时），或者人口数将无限减少，这显然是不符合实际情况的。根据历史资料作数理统计，我们可以假设出生率和死亡率均是人口数p（t）的线性函数，且b=m-np（t），d=r+sp（t），式中m，n，r，s都是正的常量，此假设表明，当人口总数增加时，出生率将随人口总数的增加而减少，死亡率却随人口总数的增加而增加，即b是p（t）的减函数，d是p（t）的增函数。这个假设显然是符合客观实际的。因此上面的微分方程可以写成：
=（b-d）p=（m-r）p-（n+s）p
若记α=m-r，β=n+s，则有：
=αp-βp（1）
其初始条件为p（t）=p，其中α，β称为生命系数，一般来说，常数β与α相比是很小的，如果p（t）不太大，-βp项（可称为竞争项）与αp相比可以忽略，人口总数将按指数方式增长，当p（t）很大时，-βp项不能忽略，由于这一项的作用，人口总数剧增的速度将减缓下来。因此-βp项也可称为控制项。
方程（1）是Bernoulli方程，也是一阶可分离变量的微分方程，用分离变量法求解，在应用初始条件后（1）的通解为：
p（t）=（2）
或
p（t）=（3）
这就是人口增长的计算公式。称为Logistic方程，方程（1）在数学上称为阻滞方程。
讨论（2），可以得出人口总数具有如下规律：
1.当t→∞时，p（t）→，即不管初值如何，人口总数最终将趋向于极限值。
2.当0＜p＜时，所以p（t）是时间t的单调增函数，
又因为
=α-2βp=（α-2βp）p（α-βp），
显然，当p＜时，＞0，曲线向下凹，当p＞时，＜0，曲线向上凸，函数p（t）的图形称为“S”形曲线。
3.在人口总数达到极限值一半（即）以前，是加速增长时期，过这一点以后，增长的速度逐渐减小，进入减速增长时期，最后增长速度为0，趋近于极限值。
三、模型中α和β的确定
为了获得我国人口增长的数学模型，需要确定（1）式中的α和β。
α和β一般采用最小二乘法来确定，方法如下:
令△p=p-p，作L=（△p-αp+βp），对β取α和β偏导数，并令偏导数等于零，则得=2（△p-αp+βp）（-p）=0=2（△p-αp+βp）p=0
由此得方程组αp-βp=p△pαp-βp=p△p
解此方程组，可确定α和β的值。
另一种方法是文献［1］中的方法。主要利用
e=（4）
确定α和β的值。
由（4）式有
e=及e=
相除得e=，
再假定t-t=t-t可得
=
解此方程可得
=（5）
另一方面，从e=取对数可得
α=ln
四、人口增长的数学模型与实证分析
下面我们用文献［１］中的方法确定和的值。
以2001年的人口总数为p，p=127627，2005年的人口总数为p，p=130756，2009年的人口总数为p，p=133474，代入（5）经计算可得
==148670，
α=ln=0.0462，及β=3.108×10
因此，我国人口增长的数学模型为：
p（t）=（6）
以上计算表明，我国人口增长的最大值（极限值）为14.867亿，且用模型（6）对2001-2010的人口总数重新进行了计算与预测，计算表明，相对误差很小，模型具有较高的精度。可用于预测2011-2015年人口总数。预测结果见表1后5行。
表1 2001-2010年的人口总数 （万人）
五、结语
通过利用上述人口增长的数学模型，我们得到了一些有价值的结论，我国人口的最大值为15亿。到“十二五”末人口总数为13.7亿。但是从长远看，随着我国人口老龄化的到来，我国的人口政策一定会作出调整，人口总数还会有所变化。
参考文献：
［1］M.布朗著.张鸿林译.微分方程及其应用（上册）［M］.北京，人民教育出版社，1983：38-43.
［2］王周喜等.人口预测模型的非线性动力学研究［J］.数量经济与技术经济研究，2002，（8）：53-56.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
