巧用逐项比较法证明数列不等式 绝对值不等式公式
时间：2018-12-29 03:33:11 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
不等式的证明历来是高中数学学习的难点，其变化很多，技巧性高，方法独特，在各省高考试题中受到命题者的喜爱，也是各数学爱好者研究的方向。笔者通过对2008年陕西试题的研究，从而总结出证明一类数列不等式的证明方法。
（2008陕西：22）已知数列{a}首项a=，a=，n=1，2，…
（1）求{a}通项公式。
（2）证明：对任意x＞0，a≥-（-x），n=1，2，…
（3）证明：a+a+…+a＞。
在所给证明中（3）问一般要用到（2）问结论来证明，那么是否可以直接证明呢？左边是一个数列{a}前n项和S，那么右边也看作另一个数列{b}的前n项和T，若a＞b，则S＞T必成立。
现令T=，则b=T-T=（n≥2），n=1时b=也满足，则b=（n∈N）
因为a=＞，a+a=＞T=，a=＞b=，所以下面用数归法证明a=＞b=（n≥3）。
n=3时，已证得。设n=k（k≥3）时，有a＞b=成立，则n=k+1时，a=＞=。
下面用分析法证明≥2k≥4k≥2成立。
∴n≥3时，a＞b成立，又a+a＞b+b，∴S＞T成立，即原不等式成立。
利用此方法可解决很多数列不等式。
例1：（2009年成都一诊：22）已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值。
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x+b在［，2］上恰有两个不相等的实根，求实数b的取值范围；
（3）证明：＞（n∈N，n≥2）。
解：（1）a=0；
（2）+ln2≤b＜2；
（3）∵k-f（k）=lnk，即证＞+++…+＞。
令S=（n≥2），S=0，则a=S-S=（n≥2）。
设m（x）=lnx-（x-1），则m′（x）=-==
-，
可得y=m（x）在［2，+∞）上是减函数，
∴m（x）≤m（2）=ln2-＜0lnx＜（x-1），
∴x≥2时，＞=，则k≥2时，＞==a，
∴+++…+＞a+a+a+…+a=得证。
例2：（2009年江西重点中学第一次联考：22）数列{b}满足b=1，b=2b+1，若数列{a}满足a=1，a=b（++…+），（n≥2且n∈N）。
（1）求b，b，b，b；
（2）证明：=（n≥2且n∈N）；
（3）求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜。
解：（1）b=3，b=7，b=15，b=2-1；
（2）略；
（3）由（2）知（1+）（1+）（1+）…（1+）=••…=••…•a=•…•a=••a=2•=2(+++…+)=2（1+++…+）
原不等式只需证++…+＜，
又=可看作c=•（）（n≥2）的各项和，∴＞c+c+…+c，只需证•（）≥2-1≥3•22≥1（n≥2）成立，则原不等式成立。
分析：不等式右边显然无法看作一个数列的前n项和，但可作为一个无穷递缩等比数列的各项和。
通过对以上例题的分析，我们不难发现把不等式的两边各看作数列的前n项和，通过对通项的逐个比较，即可得到整个不等式的证明，从而避开了不等式证明过程中的放缩和构造等技巧，使学生更容易掌握。
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