[沙漏摆质量减小对其运动周期的影响]为什么同周期元素半径逐渐减小

时间：2019-01-30 03:39:20　来源：雅意学习网本文已影响人

　　题目在圆锥形漏斗中灌满细沙，并用一定长度的轻线悬挂起来做成沙漏摆，如图1所示。忽略悬线的弹性形变，使沙漏摆在坚直平面内绕悬点做简谐运动，同时细沙从漏斗中缓缓漏出，此过程中沙漏摆的周期是否变化？如果变化，其变化又会遵循怎么的规律？
　　解与析单摆的周期公式为T=2πl/g。一般认为单摆周期由摆长和当地的重力加速度决定，与单摆的振幅和摆球质量无关。但值得注意的是摆长l为摆球质心到悬点之间的距离。上例中，其质心位置由圆锥形漏斗和漏斗内的沙子共同决定。当沙子缓缓从小孔漏出时，质心位置沿摆线方向先下降后上升，使得摆长先变长后变短，故其周期T也先变大后变小。从而表明沙漏摆的质量与周期密切相关。通过定量计算，可给出沙子漏出过程中质心位置的变化函数，从而研究沙漏摆质量减小对其周期的影响。
　　根据单摆的周期公式，可知沙漏摆的周期为
　　T=2πL+l′g(1)
　　其中L为摆长线长度，l′为质心到A点之间的距离，如图1所示。
　　取圆锥形漏斗的O为坐标原点，建立直角坐标系，如图2所示。由沙子的均匀性和漏斗的轴对称性，漏斗的质心和沙子的质心均在Z轴上。
　　首先我们来计算圆锥形容器的质心位置。由于空心圆锥与质量分布均匀的实心圆锥的质心位置是相同的，现设圆锥的密度为ρ�容为一常数，且底面半径为R，高度为h，在距O点z处取一薄圆盘，半径为r，高度为dz，如图2所示，则薄圆盘的质量为dm=ρ�容πr�2dz，将每个薄圆柱体的半径r用z的函数表示出来为：r/R=z/h，或者有r=zR/h，则圆锥形容器的质心坐标为：
　　z��c1�=∫�h�0zdmM=∫�h�0zρ�容πr�2dzM=ρ�容πR�2h�2∫�h�0z�3dzM
　　=14ρ�容πR�2h�2M=34h(2)
　　下面再来计算细沙的质心位置，设某时刻细沙的高度为h′，设沙子的密度为ρ�沙，则沙子的质量为m�沙=13ρ�沙πr�2h′=ρ�沙πR�23h�2h′�3，同理可得，质心坐标为z��c2�=34h′(3)
　　则整个的摆球的质心坐标为
　　z�c=m�容z��c1�+m�砂z��c2�m�容+m�砂=3ρ�容h�4+3ρ�沙h′�44ρ�容h�3+4ρ�沙h′�3(4)
　　所以质心到A点之间的距离为
　　l′=h-z�c=ρ�容h�4+4ρ�沙h′�3h-3ρ�沙h′�44ρ�容h�3+4ρ�沙h′�3 （5）
　　设容器的密度为沙子密度的k倍，则上式可以化简为：
　　l′=kh�4+4h′�3h-3h′�44kh�3+4h′�3(6)
　　所以单摆周期为
　　T=2πL+l′g
　　=2πL+kh�4+4h′�3h-3h′�44kh�3+4h′�3g(7)
　　（7）式给出了沙子在漏出过程中，单摆周期的变化函数，若取L=1m，h=0.1m，当k=0.2和0.5时，运用数学软件maple绘制l′随h′的变化函数，从图3中从可以明显看出，质心到A点之间的距离先增大后减小，从而根据（7）式，沙漏摆的周期先增大后减小。
　　
　　当沙子装满漏斗时，沙漏摆的周期为：
　　T��min�=2πL+l′��min�g=2πL+h4g=2.031s
　　上式中l′��min�=h4与k的取值无关，随着沙子漏出，根据（6）式，l′取到最大值时，周期也取到最大值。如取k=0.5，，当h′=0.0594时，l′=0.0343m，与k的取值无关，此时沙漏摆的周期为：T��min�=2πL+l′��min�g=2πL+h4g=2.031s
　　上面通过计算，得到了在沙子漏出过程中，质心坐标的变化函数，从而得出了沙漏摆周期的变化函数，并用maple清晰的描述了周期的变化规律，研究了沙漏摆质量减少对其周期的影响。
　　(栏目编辑陈洁)
　　
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