高考数学应用题解题【特殊值法在高考数学解题中的应用】

时间：2019-01-09 03:19:56　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：文章谈了特殊值法在高考数学解题中的应用。在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特殊值，以达到简化题目、减少思维量的效果。　　主题词：数学高考特殊值法简化应用
　　
　　随着高考的日益临近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。
　　第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，比如你平时刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。如果实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的暗示，这样你就一定能在考场上发挥出平时的水平，甚至超常发挥。
　　第二，在最后一个月内要准确掌握书本上的知识点，掌握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最后一题，也能保证较高的分数。
　　第三，在掌握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的应试技巧来取得成功，这些技巧很多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特殊值法，等等。这里着重介绍特殊值法在数学高考中的应用。
　　特殊值法的定义：解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先考察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特殊值法”。［１］
　　特殊值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊值成立时一般性的结果不一定成立。这是很简单的一个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。
　　如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
　　证：先证相邻对换的情形。
　　设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b与排列a…abab…b的奇偶性不同。
　　再证一般对换的情形。
　　设排列为a…aab…bbc…c，把它当作m次相邻对换，变成a…aabb…bc…c，再做m+1次相邻对换，变成a…abb…bac…c.总之，经2m+1次相邻对换，排列a…aab…bbc…c，变成排列a…abb…bac…c，所以这两个排列的奇偶性相反。［2］
　　从这道证明题可以看出由一般到特殊的思想和方法在数学中随处可见，所以我们要充分利用这一点，想到一般性的结论同样也适用于特殊性。我们可以利用这一点来解决高考数学中的满足一般性结论的选择和填空题来达到事半功倍的效果。
　　第一种情况：数列问题
　　例1.（2009重庆卷理）设a=2，a=，b=，n∈N，则数列{b}的通项公式=b=?摇?摇?摇?摇.
　　【解析】由条件得b===2=2b，且b=4所以数列{b}是首项为4，公比为2的等比数列，则b=4•2=2.
　　然而如果我们在考场上没有发现b=2b，我们该怎么办呢？这时我们可以用特殊值法来求解，因为a=2，由上述所给条件可得b=4，b=8，b=16，b=32，b=64，由此我们可以猜测出b=2。但如果这是道简答题怎么办呢？这时我们也可以利用猜测出的结论来引导思路。因为b的结果是等比数列，我们按照等比数列求法的一般方法即b/b来求，也可以轻易地得出答案，所以特殊值法在这解题中也是非常有用的。
　　例2.（2008四川卷理）已知等比数列（a）中a=1，则其前3项的和S的取值范围是（）。
　　A.（-∞，-1］ B.（-∞，0）∪（1，+∞）
　　C.［3，+∞） D.（-∞，-1］∪［3，+∞）
　　【解析】∵等比数列（a）中a=1，∴当公比为1时，a=a=a=1，S=3.当公比为-1时，a=-1，a=1，a=-1，S=-1，从而淘汰A、B、C，故选D。这样解可以节约很多时间。
　　例3.在各项均为正数的等比数列（a）中，若aa=9，则loga+loga+loga+loga+…loga的值为（）。
　　A.12B.10C.8 D.20
　　此题如果按照一般的计算法则loga+loga+loga+loga+…loga=logaaa…a，再求解之是非常麻烦的。此时我们可用一种巧妙的方法来解答，我们可以把公比q=1，则a=3，a=3，再代入求解会很容易得出答案。但需注意的是这种解法不能运用在简答题中。
　　第二种情况：三角函数问题
　　例4.（2008四川卷理）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）。
　　A.， B.，π C.，D.，
　　【解析】∵sinα＞cosα∴sinα-cosα＞0 ，即2sinα-cosα=2sinα-＞0.又∵0≤α≤2π，∴-≤α-≤，∴0≤α-≤π，即x∈，，故选C.
　　这时如果我们用特殊值法可以通过比较答案找出特殊值，即将π/2，π，4π/3，3π/2直接代入即可知π/2，π满足，且4π/3时两式的值相等，由此可得正确答案为C。比按一般步骤算要快得多，且不容易出错。
　　第三种情况：不等式问题
　　例5.（2007全国文）不等式＞0的解集是（）。
　　A.（-2，1）B.（2，+∞）
　　C.（-2，1）∪（2，+∞） D.（-∞，-2）∪（1，+∞）
　　此题也可以用特殊值法进行求解，首先通过比较代入3，此时符合题意，再带入数字0此时也符合运算结果，所以答案应选择C。我们不难发现这种方法很实用，只需观察即可得到正确的结果。
　　例6.（2004重庆卷理）不等式x+＞2的解集是（）。
　　A.（-1，0）∪（1，+∞） B.（-∞，-1）∪（0，1）
　　C.（-1，0）∪（0，1）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
　　本题的解法如上题，找到四个选项不同之处带入-和2，即可知道正确答案是A。
　　第四种情况：体积问题
　　例7.直三棱柱ABC-ABC的体积为V，P、Q分别为侧棱AA、CC上的点，且AP=CQ，则四棱锥B-APQC的体积为（）。
　　A.V B.V C.V D.V
　　分析：由于上、下底三角形形状未定，P、Q可移动，直接找V与V之间的关系不大方便，在此可考虑：当P趋向A，Q趋向C时，V趋向V=V=V，故选B。［１］这道题用此方法就简单很多。
　　数学作为一门艺术，是奥秘无穷的，我们需要不断地探秘，而在探秘的过程中，我们无不是由发现特殊的实例，进而研究得出一般的结论，从而再用一般性结论来解决实际问题的。由此可见特殊值在数学中特有的地位，所以我们应该合理利用。然而我们要真正学好数学还是要靠在平时脚踏实地地练习，努力进步，争取取得更大的成功。
　　
　　参考文献：
　　［1］易兰桂.“特殊值法”在高中数学解题中的应用［J］.湖南第一师范学报，2002.
　　［2］同济大学数学系.工程数学线性代数［M］.高等数学出版社，1990.
　　注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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