空间解析几何公式【对高考解析几何试题中的定值问题的探究】
时间：2019-01-07 03:24:09 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
近两年高考解析几何试题中的定值问题，考查了直线与圆锥曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系，还有效地考查了学生的运算求解能力及运用函数和方程的知识分析问题、解决问题的能力。对这些问题的进一步探究，可以培养学生的运算求解能力，培养学生提出问题、探究问题的能力。下面是我对两道高考试题的探究。
题一：2009年高考辽宁理科卷第20题。
已知，椭圆C过点A（1，），两个焦点为（-1，0），（1，0）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.
探究1：将问题一般化：
设椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（c，），其中a=b+c，E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率是否为定值呢?
探究如下：设直线AE的方程为y=k（x-c）+，将它代入椭圆的方程并整理得（ak+b）x+2ak（b-ack）x+c（ack-2abk-bc）=0.
由点A（c，）、E（x，y）在椭圆上，得x=.
将k换为-k，得x=.
又y=k（x-c）+，y=-k（x-c）+，
故k====，即直线EF的斜率为定值.
从而有下面的结论：
结论1.1：设椭圆过点+=1（a＞b＞0）过点A（c，），其中a=b+c，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为定值.
探究2：类比推广：设双曲线-=1（a，b＞0）过点A（c，），其中c=a+b，E，F是双曲线上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率是否为定值呢?
类似可得下面的结论:
结论1.2：设双曲线-=1（a，b＞0）过点A（c，），其中c=a+b，E，F是双曲线上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为定值-.
对于抛物线，可得下面的结论：
结论1.3：设抛物线y=2px（p＞0）过点A（，p），E，F是抛物线上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为定值-1.
对于结论1.1，利用同一法，有下面的结论：
结论2：设椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（c，），其中a=b+c，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线EF的斜率为定值，则直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.
对于结论2，双曲线和抛物线也有类似的结论.
探究3：上面的点A是过曲线的焦点和对称轴垂直的直线与圆锥曲线的交点，对于曲线上的任意点A（x，y），是否有更一般的结论呢?
探究如下：设直线AE的方程为y=k（x-x）+y，将它代入椭圆的方程并整理得
（ak+b）x+2ak（y-kx）x+a［（y-kx）-b］=0.
由点A（x，y）、E（x，y）在椭圆上，得bx+ay=ab，
x=，将k换为-k，得x=
又y=k（x-x）+y，y=-k（x-x）+y，故
即直线EF的斜率为定值
从而有下面的结论：
结论3.1：设椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（x，y），E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为定值.
类似可得下面的结论:
结论3.2：设双曲线-=1（a，b＞0）过点A（x，y），E，F是双曲线上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为定值-.
结论3.3：设抛物线y=2px（p＞0）过点A（x，y），E，F是抛物线C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为定值-.
题二：2010年高考江苏卷第18题。
在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆+=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x，y）、N（x，y），其中m＞0，y＞0，y 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
