立体几何练习案1
时间：2020-12-16 13:27:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
7.4
直线、平面平行的判定和性质(练习案）
一、选择题 1．已知命题“直线 l 与平面 α 有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线 l 上的点都在平面 α 内； ②直线 l 上有些点不在平面 α 内； ③平面 α 内任意一条直线都不与直线 l 平行． 其中真命题的个数是(
) A．3
B．2
C．1
D．0 2．给出三个命题：
①若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行； ②若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行； ③若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行． 其中正确命题的个数是(
) A．0
B．1
C．2
D．3 3．下列命题中， m ， n 表示两条不同的直线， α ， β ， γ 表示三个不同的平面 ①若 m ⊥ α ， n ∥ α ，则 m ⊥ n;
②若 α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，则 α ∥ β ； ③若 m ∥ α ， n ∥ α ，则 m ∥ n;
④若 α ∥ β ， β ∥ γ ， m ⊥ α ，则 m ⊥ γ . 其中正确的命题是(
) A．①③
B．②③
C．①④
D．②④ 4．已知 α ， β ， γ 是三个不同的平面， l ， m 是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是(
) A．若 l ⊥ α ， l ∥ β ，则 α ∥ β
B．若 γ ⊥ α ， γ ⊥ β ，则 α ∥ β
C．若 l ∥ m ，且 l ⊂ α ， m ⊂ β ， l ∥ β ， m ∥ α ，则 α ∥ β
D．若 l ， m 异面，且 l ⊂ α ， m ⊂ β ， l ∥ β ， m ∥ α ，则 α ∥ β
5． a 、 b 、 c 为三条不重合的直线， α 、 β 、 γ 为三个不重合平面，现给出六个命题 ①
a ∥ cb ∥ c⇒ a ∥ b
②
a ∥ γb ∥ γ⇒ a ∥ b
③
α ∥ cβ ∥ c⇒ α ∥ β
④
α ∥ γβ ∥ γ⇒ α ∥ β
⑤
α ∥ ca ∥ c⇒ α ∥ a
⑥
a ∥ γα ∥ γ⇒ α ∥ a
其中正确的命题是(
) A．①②③
B．①④⑤
C．①④
D．①③④ 6．下面四个正方体图形中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB ∥平面 MNP 的图形是(
)
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④ 二、填空题 7．若 α 、 β 是两个相交平面，点 A 不在 α 内，也不在 β 内，则过点 A 且与 α 和 β 都平行的直线有且只有________条．
8．设 α 、 β 、 γ 为三个不同的平面， m 、 n 是两条不同的直线，在命题“ α ∩ β ＝ m ，n ⊂ γ ，且________，则 m ∥ n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
2012 级高三文科数学一轮复习《简单的三角变换》编号：
06
班级：
姓名：
学号：
编制人：王海方
审核：文科数学组
领导签字
2 ① α ∥ γ ， n ⊂ β ；② m ∥ γ ， n ∥ β ；③ n ∥ β ， m ⊂ γ . 9．过三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB 1 A 1 平行的直线共有________条． 三、解答题
11．如图所示，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、 N 分别为 A 1 B 1 、 A 1 D 1 的中点， E 、 F 分别为 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的中点． (1)求证：四边形 BDEF 是梯形； (2)求证：平面 AMN ∥平面 EFDB .
13．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 M ， N 分别是 AB ， AC 的中点，G 是 DF 上的一动点．
(1)求该多面体的体积与表面积； (2)求证：
GN ⊥ AC ； (3)当 FG ＝ GD 时，在棱 AD 上确定一点 P ，使得 GP ∥平面 FMC ，并给出证明．
答案
1．(2013·福州质检)已知命题“直线 l 与平面 α 有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线 l 上的点都在平面 α 内； ②直线 l 上有些点不在平面 α 内； ③平面 α 内任意一条直线都不与直线 l 平行． 其中真命题的个数是( D ) A．3
B．2
C．1
D．0 2．(2013·增城调研测试)给出三个命题：
①若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行； ②若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行； ③若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行． 其中正确命题的个数是( B ) A．0
B．1
C．2
D．3 3．(2013·江西南昌调研)下列命题中，m，n 表示两条不同的直线，α，β，γ 表示三个不同的平面 ①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n;
②若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β； ③若 m∥α，n∥α，则 m∥n;
④若 α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ. 其中正确的命题是(
) A．①③
B．②③
C．①④
D．②④ 解析：②反例：正方体共顶点的三个平面两两垂直，故为假命题．③m∥α，n∥α，m 和 n 可能平行、相交或异面，故为假命题．所以①④为真命题，故选 C. 答案：C 4．(2013·成都第三次诊断)已知 α，β，γ 是三个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是(
) A．若 l⊥α，l∥β，则 α∥β B．若 γ⊥α，γ⊥β，则 α∥β C．若 l∥m，且 l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则 α∥β D．若 l，m 异面，且 l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则 α∥β 解析：A 选项中 α∥β 或 α⊥β；B 选项中 α∥β 或 α 与 β 相交；C 选项中 α 与 β 可能平行也可能相交，故 D 选项正确，关键在于 l 与 m 异面． 答案：D 5．(2013·山东滨州质检)a、b、c 为三条不重合的直线，α、β、γ 为三个不重合平面，现给出六个命题 ①
a∥cb∥c⇒a∥b ②
a∥γb∥γ⇒a∥b ③
α∥cβ∥c⇒α∥β ④
α∥γβ∥γ⇒α∥β ⑤
α∥ca∥c⇒α∥a ⑥
a∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是(
)
2012 级高三文科数学一轮复习《简单的三角变换》编号：
06
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编制人：王海方
审核：文科数学组
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4 A．①②③
B．①④⑤
C．①④
D．①③④ 解析：①④正确，②错在 a、b 可能相交或异面．③错在 α 与 β 可能相交．⑤⑥错在 a 可能在 α 内． 答案：C 6．下面四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图形是(
)
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④ 解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. 答案：A 二、填空题 7．若 α、β 是两个相交平面，点 A 不在 α 内，也不在 β 内，则过点 A且与 α 和 β 都平行的直线有且只有________条．
解析：据题意如图，要使过点 A 的直线 m 与平面 α 平行，则据线面平行的性质定理得经过直线 m 的平面与平面 α 的交线 n 与直线 m 平行，同理可得经过直线 m 的平面与平面 β 的交线 k 与直线 m 平行，则推出 n∥k，由线面平行可进一步推出直线 n 与直线 k 与两平面 α 与 β 的交线平行，即要满足条件的直线 m 只需过点 A 且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条． 答案：1 8．设 α、β、γ 为三个不同的平面，m、n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 答案：①或③ 9．过三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1 A 1 平行的直线共有________条． 解析：过三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 的任意两条棱的中点作直线，记 AC，BC，A 1 C 1 ，B 1 C 1 的中点分别为 E，F，E 1 ，F 1 ，则直线 EF，E 1 F 1 ，EE 1 ，FF 1 ，E 1 F，EF 1 均与平面 ABB 1 A 1 平行，故符合题意的直线共 6 条． 答案：6 三、解答题
11．如图所示，正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，M、N 分别为 A 1 B 1 、A 1 D 1的中点，E、F 分别为 B 1 C 1 、C 1 D 1 的中点． (1)求证：四边形 BDEF 是梯形； (2)求证：平面 AMN∥平面 EFDB.
13．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 M，N 分别是 AB，AC 的中点，G 是 DF 上的一动点．
(1)求该多面体的体积与表面积； (2)求证：GN⊥AC； (3)当 FG＝GD 时，在棱 AD 上确定一点 P，使得 GP∥平面 FMC，并给出证明． 解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF 中， AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以该多面体的体积为 12 a3 . 表面积为 12 a2 ×2＋ 2a 2 ＋a 2 ＋a 2 ＝(3＋ 2)a 2 .
(2)证明：连接 DB，FN，由四边形 ABCD 为正方形，且 N 为 AC 的中点，知 B，N，D 三点共线，且 AC⊥DN. 又∵FD⊥AD，FD⊥CD，AD∩CD＝D， ∴FD⊥平面 ABCD. ∵AC⊂平面 ABCD，∴FD⊥AC. 又 DN∩FD＝D，∴AC⊥平面 FDN. 又 GN⊂平面 FDN，∴GN⊥AC.
2012 级高三文科数学一轮复习《简单的三角变换》编号：
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编制人：王海方
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6 (3)点 P 与点 A 重合时，GP∥平面 FMC. 取 FC 的中点 H，连接 GH，GA，MH. ∵G 是 DF 的中点，∴GH 綊 12 CD. 又 M 是 AB 的中点，∴AM 綊 12 CD. ∴GH∥AM 且 GH＝AM. ∴四边形 GHMA 是平行四边形． ∴GA∥MH. ∵MH⊂平面 FMC，GA⊄平面 FMC， ∴GA∥平面 FMC，即当点 P 与点 A 重合时，GP∥平面 FMC.
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