【应用单调性求数列最值】数列单调性的判断及应用

时间：2020-02-23 07:30:15　来源：雅意学习网本文已影响人

　　数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列而言，若则此数列为递增数列，若则此数列为递减数列，若，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例探究说明。
　　一、整式(一次、二次)函数为背景的数列
　　例1 等差数列{an}中，a10，d0，则数列的所有负数项之和最小。
　　二、无理根式函数为背景的数列
　　例2 函数，数列满足，（）。（1）求；（2）判断的单调性并求的最小值。
　　所以为递增数列，
　　的最小值为。
　　评注：注意隐含条件an0,a>0)为背景的数列
　　例4 已知数列an= (n∈N�)，则该数列中的最大项是第几项？
　　解：由an= 得an= ，联想函数y=x+ (x>0)知函数在(0， )上为减函数，在( ，+∞)上为增函数。当且仅当x= 时，函数取最小值。而n∈N�，要使n+ 的值最小，应使n=[ ]。通过计算验证，可得n=12或13时，an最大。
　　 a12=a13为数列中的最大项。
　　五、混合型数列
　　例5 数列满足，求中的最大项和最小项。
　　中的最大项为a4，最小项为a1。
　　六、求和为背景的数列
　　例6 已知Sn=1+ (n∈N�),记an=S2n+1-Sn+1,求数列{an}的最小值。
　　解： an=S2n+1-Sn+1= ，
　　则an+1-an= > = >0
　　an+1>an,
　　 {an}为递增数列，{an}的最小项为a1= 。
　　七、求积为背景的数列
　　例7 已知 =2n-1，若不等式(1+ )(1+ ) ≥k 对一切都成立，求k的最大值。
　　解：题设知k≤(1+ )(1+ ) / 对一切都成立，令F（n）=(1+ )(1+ ) / ,
　　则F（n+1）=(1+ )(1+ ) (1+ )/ ，
　　F（n+1）/ F（n）=(1+ ) / = >1，
　　F（n+1）> F（n），F（n）为正整数集上的增函数，F（n）≥F（1）= ，
　　k≤ ，k的最大值为。
　　评注：作商判定数列的单调性是本题求解的关键。
　　八、自然数数列中的最值
　　例8 已知正整数满足下列两个条件：⑴ ，⑵ ，求的最大值。
　　解：为使尽可能大，尽可能小，故分别为，
　　另一方面，为使尽可能大，应尽可能接近，
　　设 =x，则，解得x=192。
　　所以的最大值是192。
　　九、对数函数为背景的数列
　　例9 已知数列满足 =求其最大项。
　　故的最大项为a2=log23。
　　评注：本题考查了不等式放缩、均值不等式、对数换底公式以及对数运算，综合运用知识判定数列的单调性，综合性强，但难度不大。
　　责任编辑李婷婷