余弦定理的变形及其应用_余弦定理公式

时间：2019-04-05 03:23:27　来源：雅意学习网本文已影响人

　　余弦定理是三角形中联系边角关系的重要定理，由于其能够沟通三角恒等变形、向量、三角形（周长）面积、正弦定理、方程等重要知识点，因此历来是高考命题的热点和重点。本文以近年高考相关试题为载体，对余弦定理的变形与应用进行分析，抛砖引玉，以飨读者。
　　一、余弦定理的变形与三角形的周长、面积、三角公式中的倍（半）角公式、向量的数量积公式、一元二次方程等知识之间的联系
　　我们知道，余弦定理的基本形式是c2=a2+b2－2abcosC（只取其中一式），对公式的右边配方得c2=(a+b)2－2ab(1+cosC),下面由这个式子的结构出发简单分析其与其他数学知识间的联系。
　　（1）公式右边含ab,由于三角形面积公式为S=12absinC (只取其中一式);数量积公式CA?CB=abcosC（a、b分别是角A、B的对边）中也含有ab，因此，余弦定理可以与三角形的面积、向量的数量积等知识建立联系。
　　（2）公式右边含1+cosC,由三角公式可以知道，1+cosC=2cos2C2，因此，余弦定理可以与三角公式中的倍（半）角公式建立联系。
　　（3）公式中含c、a+b,而三角形的周长L=a+b+c，因此，余弦定理可以与三角形的周长建立联系。
　　（4）公式右边含a+b、ab,容易看出余弦定理可以与一元二次方程根与系数的关系建立联系。
　　由上面的分析可以知道，三角形的周长、面积，三角公式中的倍（半）角公式、向量的数量积公式、一元二次方程等知识都可以与余弦定理建立联系，因此，高考常常把余弦定理作为联系其他知识的纽带，综合考查上述知识。我们在具体的解题中，只要以这些知识之间的联系为解题的突破口，就可以迅速解决许多与三角形有关的三角问题。举例如下：
　　例1 （2009年浙江高考题）在△ABC中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足cosA2=2 55,AB?AC=3。
　　(Ⅰ)[JP3]求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c=6,求a的值。[JP]
　　解：(Ⅰ)∵cosA2=2 55，
　　∴cosA=2cos2A2－1=35，sinA=45。
　　又AB?AC=3，得bccosA=3。
　　∴bc=5，因此，S△ABC=12bcsinA=2。
　　（Ⅱ）由(Ⅰ)知bc=5，又b+c=6,
　　所以b=5,c=1或b=1,c=5。由余弦定理得a2=b2+c2－2bccosA=20。
　　所以a=2 []5。
　　评析：本题第（Ⅱ）问的解答是评分标准上给出的，事实上，由前面的分析可以知道a2=(b+c)2－2bc(1+cosA)，因此只需把bc=5，b+c=6，cosA=35直接代入即可（解答略），没必要求b,c的值。
　　二、余弦定理的变形与三角公式变换之间的联系
　　由正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，代入c2=a2+b2－2abcosC，可得sin2C=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC，这是一个很有用的公式，请看下例：
　　例2 （2010江苏（理）13）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba+ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB=。
　　解：ba+ab=6cosC6abcosC=a2+b2。
　　由正弦定理可知6sinAsinBcosC=sin2A+sin2B。
　　又sin2C=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC，
　　于是，4sinAsinBcosC=sin2C，①
　　又tanCtanA+tanCtanB=sinCcosC?cosBsinA+sinBcosAsinAsinB=sinCcosC?sin(A+B)sinAsinB=1cosC?sin2CsinAsinB，
　　把①代入上式，得tanCtanA+tanCtanB=4。
　　评析：把正、余弦定理及三角公式变换综合进行考查是近年高考命题的一种常见形式，解题的关键是抓住余弦定理的结构，利用正弦定理实行边角转换以及正确的三角变形。
　　三、余弦定理的变形优化解三角形问题
　　对c2=a2+b2－2abcosC变形，得：b2+(－2acosC)b+a2－c2=0，这样就把关于b的二次方程的正数解与三角形的解相联系，开辟了用余弦定理解已知两边和其中一边的对角解三角形问题的另一途径。举例如下：
　　例3 （2010浙江（理）18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C=-14。
　　(Ⅰ)求sinC的值；
　　(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
　　解：（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin2C=-14，及0＜C＜π，所以sinC=104。
　　（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理asinA=csinC，得c=4，由cos2C=2cos2C-1=-14，及0＜C＜π，得cosC=±64。由余弦定理变形，得b2+(－2acosC)b+a2－c2=0，即b2±6b-12=0。解得b=6或2 6。
　　所以b=6，c=4；或b=2[]6，c=4。评析：本题第二问若用正弦定理求b边（读者可以自己试一下），要两次利用正弦定理，同时求B角也较麻烦。
　　（作者单位：河南省南阳市卧龙区基础教育教研室）

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