【排列组合应用题教学的几点体会】排列组合公式
时间：2019-02-09 03:17:37 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 排列组合是中学阶段学习的重要内容，是学习高等数学所必须具备的基础知识，这部分内容具有较抽象，应用题结论难以预算，易重复和遗漏，不易发现等特点。作者在排列组合应用题教学中，狠抓基本解法，发散思路、一题多解两个方面，颇有成效。
关键词： 排列组合应用题 基本解法 发散思路，一题多解
中学阶段学习的排列组合，既是为学习二项式定理、概率初步作准备，又是今后学习高等数学所必须具备的基础知识。这部分内容具有较抽象，应用题结论难以验算、易重复和遗漏、不易发现等特点。但是，只要在内容上合理安排，抓住关键，善于诱导、启发，教法灵活多样，遵循由浅入深、从易到难、循序渐进的原则，着重逻辑思维的培养，就能克服这些难点。
我在排列组合应用题教学中，狠抓四个环节（即“两个原则，两个概念，基本解法，发散思路、一题多解”）的教学，颇有收效，下面我重点就后两个环节谈点体会。
一、基本解法
对于排列组合的应用题解法有：
直接法分步法（用乘法原理相乘得）分类法（用加法原理相加得）
间接法：排除法（不受条件限制的总排列数减去不合条件的排列数）
关于排列组合应用题可大致分为三类：
（1）单纯的排列（组合）题。
（2）有附加条件的排列（组合）题。
（3）排列组合综合题。
下面分别进行讨论。
1.单纯的排列（组合）题
这一类型的应用题可直接依据排列（组合）公式得出或利用乘法原理得出。
例1：10个座位，5个人去坐，每人坐一个座位，有几种坐法？
解法一：以人当“位子”，座位当“元素”，以从10个元素里每次取5个元素的一种排列对应一种坐法，因此共有种A种坐法。
解法二：以人为主来考虑，设5个人为甲、乙、丙、丁、戊，甲去坐位子的方法有10种；甲坐好后，乙的坐法只有9种，甲、乙两人不论哪一种方法坐好后，丙去坐的方法只有8种……依乘法原理，共有10×9×8×7×6种，这恰好是A种坐法。
2.有附加条件的排列（组合）题
这一类型的应用题关键在于引导学生如何处理特殊元素（被条件限制的元素）与特殊位置（被条件所限制的位置）的关系问题。这一题型以“排队”、“组数”等问题为多见。下面就一题谈其解法，并试图揭示其技巧。
例2：用0、1、2、3、4、5这6个数字组成多少个不重复的六位奇数？
解法一：要构成这样的六位奇数，可先考虑末位，其次考虑首位，最后考虑中间四位。末位的排法有A个，首位的排列有A个，中间排法有A个，由乘法原理可知，合乎条件的排法有A・A・A=288（个）。
这是分步法，它的思路是：
（1）找出特殊位置（条件限制）；（2）求出特殊位置上的排列数；（3）求出其它位置上的排列数；（中间四位A种）（4）利用乘法原理求出总排列数：A・A・A。?摇?摇
解法二：要构成这样的六位数，可分为三类：个位为1；个位为3；个位为5。这三类的各自排列数都是A・A个，故用加法原理可知：合条件的排列总数为A・A+A・A+A・A=288（个）。
从解法中，我们可以看出，以特殊元素出发，把特殊元素在特殊位置上分类排出，再加而成。这就是我们常说的分类法，它的思路是：
（1）找出特殊元素；（2）考虑特元在特位上的排列数；（3）考虑分类各自的排列数；?摇?摇（1?摇?摇3?摇?摇5）?摇?摇?摇?摇?摇?摇
（4）再用加法原理。（都是A・A种）
在分类中，一般都是以限定条件来分类，故应注意：
（1）各种情况相互之间无重复部分。
（2）各类都必须合乎题目要求。
（3）必须没有遗漏部分。
解法三：若无条件限制则总排列数应该是A个，其中不合条件的可看作四类：
①“0”在首位，排列数为A；
②“0”在个位，排列数为A；
③“2”在个位，排列数为A・A；
④“4”在个位，排列数为A・A；
所以合乎条件的排列为：A-（A+A+A・A+A・A）=288（个）
从上述解法三可以看出：总的排列数减去不合条件的排列数等于合乎条件的排列数，这种方法就是我们常说的间接法。
以上三种方法是解这类题目的常用方法，教师若教学有方，训练得当，学生是很容易掌握的。
3.排列组合综合题
这类题目是包含排列和组合的混合题，特别要求学生概念清楚，解题时，“分步”和“分类”合理。
例3：以6个男同学和4个女同学里，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项工作，一共有多少种分配方法？
解法一：此题显然用“分步法”较易，根据题目要求，必须依次完成“选出3个男同学”、“选出2个女同学”、“对选出的人分配不同的工作”三个步骤。可把同学当元素，工作看作位置，因选人是组合问题，所以男同学和女同学的选法分别为C和C种，将元素安排位置是排列问题，故选出的5个同学分配不同的工作有A种方法，根据乘法原理知，分配方法的总数为C.C・A=14400（种）。
解法二：也可把工作当作元素，同学看作位置，即把完成分配工作这件事分成为“先给男同学（女同学）分配工作，再给女同学（男同学）分配工作”两个步聚进行。所以第一步以5种工作里任选出3种（组合问题）分给6个男同学所选出的3人（排列问题），有C・A种，再将余下的工作分给4个女同学的任2位，有方法A种，根据乘法原理知，分配方法总数一共有C・A・A=14400（种）。
二、发散思路，一题多解
发散思路、一题多解，是培养学生牢固掌握知识，灵活运用知识的一种好办法，而一题多解更是培养学生发散性思维的一条重途径（它具有流畅、变通，独立等特征，是从多渠道中不拘泥常规，寻求解答的一种思维形式），所以在教学中鼓励学生一题多解，不只对双基训练会收到事半功倍的效果，更会增强学生实际生活中的应变能力。
例4：0、1、2、3、4、5这6个数字可组成多少个不重复且能被5整除的五位数？
解法一：要构造这样的五位数可分两步：先挑个位和首位，再排中间三位。而个位的排法有A种，首位的排法有A种，故第一步共有排法A・A种。但此时包括个位和首位同时为5的情况，故合乎条件的首未两位共有排法（A・A-1）种。中间三位的排列有A种。据乘法原理知，合乎条件的五位数是（A・A-1）・A=216（个）
解法二：可分两类：
①个位是“0”的五位数有A个；
②个位是“5”的五位数有A・A个。
由加法原理知：合乎条件的五位数有：A+A・A=216（个）
解法三：若无条件限制选出五个数字的总排列为A个，即A排列中不合乎条件的可分为两类：
①“0”在首位的排列有A个；
②个位为1、2、3、4的排列有A・A・A个
故符合条件的排列为：A-（A+A・A・A）=216（个）
解法四：也可这样考虑：A个总排列中不合条件的排列有：
①个位为1、2、3、4的排列A×A（个）
②“0”在首位且个位为“5”有A个
故合乎条件的排列为：A-（A・A+A）=216（个）
解法五：合乎条件的个位是“0”和“5”，故有排列A个，合乎条件中的首位是1、2、3、4、5，故有排列A个，中间三位有排法A个，这样的排列有A・A・A个，但这时“5”同时在首未两位且“0”不在内的排列有A个（因为A・A・A个排列中“0”在内的排列都是合乎条件的排列）。故合乎条件的排列有A・A・A-A=216（个）。
教学中自始至终以“两个原则”为红线，从基本方法入手，抓住关键，点破规律，诱导启发，发散思路，一题多解，这样就能使学生在亲身的探索中，掌握解题的技巧、培养探索能力，激发学生的兴趣，收到良好的效果。
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