截长补短法口诀 [谈谈“截长补短”在几何证明中的运用]
时间：2019-02-05 03:33:40 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要:几何证明题是数学试题中必不可少的题型,其数量成千上万,但不少题目之间还是存在一定的方法和技巧可以运用的,其中“截长补短”就是一种非常重要的几何证明手段。 关键词:几何证明;截长补短
中图分类号:G622 文献标识码:A文章编号: 1003-2851(2009)09-0066-01
几何证明题是数学试题中必不可少的题型,其数量成千上万,但不少题目之间还是存在一定的方法和技巧可以运用的,
其中“截长补短”就是一种非常重要的几何证明手段。
例1:如图,已知:AP是△ABC的∠BAC
的平分线,AB+BP=AC.
求证:∠B=2∠C.
分析一:在条件AB+BP=AC中,AC
被称为长线段,可在AC上截取AD=AB,这就叫做截长,截长后可以得到两组相等线段,AD=AB和PB=DC,它们可作为条件使用。
证明:在AC上截取AD=AB则PB=DC.
∵AP平分∠BAC , ∴∠BAP=∠DAP.
又∵AB=AD, AP公用,
∴△ABP≌△ADP. ∴PB=PD. ∠B=∠ADP=∠DPC+∠C.
∴PD=DC.∴∠DPC=∠C.∴∠B=2∠C.
分析二:在条件AB+BP=AC中,AB和
BP被称为短线段可以拼接在一起,延长AB
到E使BE=BP,这就叫补短,补短后可得两
组相等的线段,BE=BP和AE=AC,可以作为
条件使用。
证明:延长AB使BE=BP.
则可得:AE=AB+BE=AB+BP=AC
和∠E=∠BPE.
∵AP平分∠BAC,
∴∠EAP=∠CAP, AP公用, ∴△EAP≌△CAP.
∴∠E=∠C. 而∠ABC=∠E+∠BPE, ∴∠ABC=2∠E=2∠C.
互换上题中的条件AB+BP=AC和结论
∠B=2∠C得一条新题。
例2:如图,已知:AP是△ABC的
∠BAC的平分线,∠B=2∠C.
求证:AB+BP=AC.
分析一:在AC上截取AD=AB,截
长后得AD=AB,可以作为条件使用,由于AB+BP=AC是需要证明的结论,所以还需要证到BP=DC,可以先证明△ABP≌△ADP得
∠ADP=∠B和BP=DP,再用∠B=2∠C和∠ADP=∠C+∠DPC,得
∠C+∠DPC=2∠C,得∠DPC=∠C,再得DP =DC,从而证到AB+BP=AC,证明略。
分析二:也可延长AB到E,使
BE=BP,补短后得BE=BP,可作为条件用,
只需要证到AE=AC即可,可以用BE=BP
得到∠E=∠BPE,∠ABC=∠E+ ∠BPE=
2∠E=2∠C得∠E=∠C,从而得△AEP≌
△ACP,得AE=AC,证明略。
评注:
(1)截长是指把长线段分成两段,补短是把两短线段拼接在一起。
(2)若对条件截长补短,则可得两组相等的线段,可作为条件使用;若对结论截长补短,只可得一组相等的线段,还需证明另一组线段的相等。
(3)截长的题目往往也可以用补短来做,补短的题目往往也可以用截长来做。
