与人教社关于阻尼振动图像的再讨论_阻尼振动图像
时间：2019-01-10 03:20:22 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 人教社阻尼振动的图像中相邻两次同向到平衡位置所需时间显著不相等，很多学生大惑不解，很多解释牵强附会，文章通过科学探究证明人教社的阻尼振动图像存在明显的错误。
关键词： 人教社 阻尼振动 图像 周期
下面是人民教育出版社关于阻尼振动图像的论述：
“做简谐运动的物体受到回复力，是振动系统内部的相互作用力。如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫固有振动，其振动的频率成为固有频率。当系统受到阻力作用时，我们说振动受到了阻尼。系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。这种振幅减小的振动，叫阻尼振动。图1是阻尼振动的图像。”
从阻尼振动的图像可以看出阻尼振动相邻两次同向运动到平衡位置所需时间是越来越短，特别是最后相邻两次同向运动到平衡位置所用的时间比开始所用时间明显偏短，这不难让学生产生疑惑：
阻尼振动是否具有周期性？阻尼振动若有周期，其周期为何会变小？是不是人教社的阻尼振动图像错了？
为了搞清楚学生心目中的疑问，我们首先来看阻尼振动是否有周期的问题。
物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期。在周期的定义中存在全振动这个概念，全振动是指做机械振动的物体从某个点出发，等到下次回到该点时的运动状态和开始振动时的运动状态完全相同，且所用时间最短。所以能重复原来的运动状态（位移、速度、加速度等）的机械振动才是全振动，非等幅的阻尼振动不是全振动，所以它是没有周期的。例如：大阻尼振动和临界阻尼振动，阻尼比大于等于1，振子运动随时间t按指数规律减小，并趋向平衡位置，故不具备振动性质，也就不具有周期。对于小阻尼振动，阻尼比小于1，振子运动规律是按指数规律衰减的振幅为时间t的函数的振动，称衰减振动。不过cos（ω′t+φ）是周期变化的，它使得质点每连续两次通过平衡位置并沿着相同方向运动所需的时间是一样的，于是把cos（ω′t+φ）的周期叫做阻尼振动的周期用T′表示，与数学上通常理解的周期不同。
搞清了阻尼振动的周期，我们重点来看小阻尼振动的周期T′。
阻尼振动是否具有“等时性”，有两种不同的说法。第一种说法认为具有“等时性”，理由是阻尼振动的振幅虽然在不断减小，但可以看成是由很多个振幅不断减小的简谐运动的叠加，由于简谐运动具有等时性，它的周期与振幅无关，所以阻尼振动和简谐运动的相位是一致的，节奏也是相同的，所以具有“等时性”。第二种说法认为不具有“等时性”，理由是物体做阻尼振动时，由于机械能的损失。振子前后两次通过同一点时，后一次的速度肯定比前一次的小。这样，从平衡位置到达最大位移处的平均速度总比返回时的平均速度大，所以回来就变慢了，对应的时间也就长了。按这种推理，阻尼振动的振动节奏会变得越来越慢，最后停止下来，周期变为无穷大，所以不具有“等时性”。
下面我们来讨论小阻尼振动的振幅和周期T′，以便来探究人民教育出版社关于阻尼振动图像科学性。
为此，我们先来求简谐运动振动方程。
根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成：
m=-kx
即：
+ωx=0
式中ω=，ω是简谐振动的圆频率。微分方程的解是：x=Acos（ωt+α）。
流体力学告诉我们，振子在流体中运动时所受阻力的大小和速度的大小成正比，由牛顿第二定律，得：
m=-kx-y。
两边除以m，得：
=-x-。
令ω=，β=，
ω为振动系统的固有圆频率，β为阻尼系数，和振动系统的性质以及介质的性质有关。于是，方程可写为：
=2β+ωx=0。
为了和高中教材讨论的阻尼振动一致，我们讨论的是阻力很小的阻尼振动，即β＜ω，由上式可求出振子的运动学方程为：
x=Aecos（ω′t+α），（ω′=）
A和a为待定常数，由初始条件决定。Ae表示随时间衰减的振幅，cos（ω′t＋a）表示振动以ω′为圆频率周期性变化，二因子相乘表示质点做运动范围不断缩小的往复运动。由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。不过，cos（ω′t＋a）是周期变化的，它保证了质点每连续两次同向运动到平衡位置的时间间隔是相同的，可见“等时性”具有非常严格的条件。而且由于阻尼振动的周期T′=大于简谐运动的固有周期T=，可见阻尼振动的节奏想对于简谐振动来说变慢了。我们可以在阻尼很小的情况下，用单摆来验证上述结论。
由以上分析可以知道，阻尼振动的周期T′是不变的，但比无阻尼振动的周期长了。上述第一种说法不完全正确，第二种说法是错误的。
由此得出结论：人教社所给的阻尼振动的图像是在阻尼较小的情况下的振动图像，这个图像是不科学的。错在：振子相邻两次同向运动到平衡位置应当需要相等的时间。这会给师生带来不必要的误会，有失科学课的初衷。
参考文献：
［1］张维善.普通高中课程标准实验教科书《物理》选修3―4［M］.北京：人民教育出版社，2007：17-18.
［2］唐果南.普通高中课程标准实验教材《教师用书》选修3―4［M］.北京：人民教育出版社，2008：15.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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