[关于恒成立问题的讨论]函数恒成立问题
时间：2019-01-07 03:21:39 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
高中阶段讨论的恒成立问题，涉及到函数、方程、不等式导数、数列等相关知识。解决这类问题往往方法千变万化，但基本都通过相互转化、数形结合的方法来解决。从而考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到积极作用，在高考中成为一个热点。常见的恒成立问题大致有以下几种解题思路。
一、形如kx+b＞0在区间［m，n］恒成立的问题
这类问题成立的充要条件k=0b＞0或k≠0f（m）＞0f（n）＞0
例如：ax+2＞0在x∈［-3，2］上恒成立，求实数a的取值范围。
解析：（1）a=0时，2＞0恒成立；
（2）a≠0时，-3a+2＞02a+2＞0?圯-1＜a＜.
综上，所以-1＜a＜.
二、形如ax+bx+c＞0在x∈R上恒成立的问题
这类问题成立的充要条件a=b=cc＞0或a＞0△=b-4ac＜0.
例如：若函数f（x）=lg（mx+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是?摇?摇.
解析：要使f（x）=lg（mx+mx+1）的定义域为R，即mx+mx+1＞0恒成立，x∈R.
（1）m=0时，1＞0时，成立；
（2）m≠0时，m＞0m-4m＜0?圯0＜m＜4.
综上，所以0＜m＜4.
注：学生在解题过程中易忽略m=0这种情况。
三、形如ax+bx+c＞0在x∈［m，n］上恒成立的问题
这类问题讨论起来比较复杂，方法较多，常见的有：
（1）利用函数与方程的关系，根据根的分布情况解决令ax+bx+c不等式成立的充要条件为：
①a=0f（m）＞0f（n）＞0或②a＞0△＜0或③a＞0△≥0-＜mf（m）＞0或④a＞0△≥0-＜nf（n）＞0或⑤a＜0f（m）＞0f（n）＞0
（2）也可结合函数图像求f（x）=ax+bx+c的最小值，f（x）＞0即可.
过程：①a≤0f（m）＞0f（n）＞0或②a＞0m≤-≤nf（-）＞0或③a＞0-＜mf（m）＞0或④a＞0-＞nf（n）＞0
（3）还可用分离变量的方法，转换成求函数求最值，a≥g（x）恒成立，等价于a≥g（x）；a≥g（x）等价于a≥g（x）.
例如：已知不等式x+px+1＞2x+p，如果当2≤x≤4时不等式恒成立，求p的取值范围。
解析：原不等式等价于p＞
令g（x）==-x+1，x∈［2，4］
g（x）=g（2）=-1
所以p＞-1.
四、恒成立问题注意变量的确定
例如：不等式x+px+1＞2x+p，如果当|P|≤2时，不等式恒成立，求x的取值范围。
解析：此题粗略一看与上例类似，但实际上是关于P的不等式。
原不等式化为（x-1）p+x-2x+1＞0.
成立的充要条件f（-1）＞0f（2）＞0，所以x＜-1或x＞3.
五、数形结合与恒成立问题
例如：设函数g（x）=x+1，f（x）=a+，若恒有f（x）≤g（x）恒成立，则求a的取值范围。
解析：此题学生可能采用分离变量的方法，但求函数最值时会遇到困难，我们可以采用数形结合的方法。设y=a+可得（x+2）+（y-a）=4，它表示以（-2，a）为圆心，2为半径的上半圆。y=x+1表示斜率为，在y轴上的截距为1的一条直线。由下图可知直线与圆相切且在直线下方a取值最大。由圆心（-2，a）到直线y=x+1距离等于半径2，得a=-5或a=（舍去），所以a∈（-∞，-5］。
六、恒成立问题中的不同变量与相同变量
例如：已知两个函数f（x）=7x-28x-a，g（x）=2x+4x-40x
（1）若对任意的x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围。
解析：第一个问题是取相同x时f（x）≤g（x），可用分离变量的方法解题。
原不等式等价于a≥-2x+3x+12x，x∈［-3，3］恒成立.
令h（x）=-2x+3x+12x，利用导数求得h（x）=45，所以a≥45.
第二个问题是指任取一个x对应的函数值f（x）都不比任取一个x对应的g（x）大，这里的f（x）与g（x）中自变量可以不一样，解此题必须符合f（x）≤g（x），f（x）=147-a，g（x）=-48，所以a≥195.
七、导数与恒成立问题
例如：已知函数f（x）=x+x+bx+c，若f（x）在x=1时取得极值，且x∈［-1，2］时，f（x）＜c成立，求c的取值范围。
解析：当x=1时，f（x）=3x-x+b=0，b=-2.
f（x）＜c，x∈［-1，2］时成立.
即c-c＞x-x-2x，x∈［-1，2］时成立.
令g（x）=x-x-2x，利用导数求g（x）=2.
八、与对称性、周期性相关的恒成立问题
例如：f（x）=sinx+acosx的图像的一条对称轴方程x=，求实数a的值。
解析：由题意可知x∈R时，恒有f（x）=f（-x）.
即sinx+acosx=sin（-x）+acosx（-x）=cosx+asinx.
则（a-1）（cosx-sinx）=0，x∈R都成立，只有a=1.
九、与数列相关的恒成立问题
例如：不等式［（1-a）n-a］lga＜0对于一切正整数n都成立，求实数a的取值范围。
解析：令f（n）=［（1-a）n-a］lga，则：
a＞1，f（n）递减数列，f（n）＜0，即f（1）＜0，所以a＞1.
0＜a＜1，f（n）递减数列f（n）＜0，即f（1）＜0，所以0＜a＜1.
十、反证法
例如：设0＜a，b，c＜1，求证（1-a）b，（1-c）a不可能同时大于。
解析：假设（1-a）b＞，（1-b）c＞，（1-c）a＞
则abc（1-a）（1-b）（1-c）＞
又0＜a（1-a）≤［］=
同理：0＜b（1-b）≤，0＜c（1-c）≤.
因此，abc（1-a）（1-b）（1-c）≤，与假设矛盾，所以原结论成立。
通过对恒成立问题的探讨，我们不难发现，每个知识点之间是相互关联的，平时要注意观察，善于总结各种解题方法和思想。只有这样才能提高自己的数学分析能力和运用各种知识解题的能力。
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