解几中参变量取值范围问题的解题策略_整型变量的取值范围
时间：2019-01-04 03:21:25 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
解析几何中参变量取值范围问题涉及解几、函数、不等式、向量、平面几何等各知识点,综合性强,运算较繁琐,并且确定参变量取值范围的不等关系较为隐蔽,难度较高,在高考中多有出现,必须加强归纳与总结。下面我从如何寻找或挖掘不等量关系的角度来谈解这类问题的策略。
一、圆锥曲线的标准方程型
例1:若方程+=-1表示椭圆,求实数k的取值范围。
简解:运用圆锥曲线的定义建立不等式组5-k>k-3>0k-5≠3-k,可得k1)的顶点为A,且C的上支交直线y=-x于点P,以点A为焦点,M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线过点P,设PM的斜率为k,k∈[,],求a的取值范围。(答案:[2,3])
解题策略:这类题明确给出了一个变量(如例1中b)的范围,解题中关键寻求到所求变量(如k)与已知范围变量(b)的等量关系后解关于所求变量(k=tanα)的不等式,便可得解。
三、运用圆锥曲线的变化范围型
例3:椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴两端点是A、B,若C上存在点P使∠APB=120°,求椭圆C的离心率e的变化范围。
简解:根据椭圆的对称性不妨设点P(x,y)(0≤x 同类题:使抛物线C:y=ax-1(a≠0)上总有不同的两点关于直线l:x+y=0对称,试求实数a的取值范围。(本题有多种解法,这里可先设点,运用点差法和对称性得到这两点的中点P(,-),再根据P在抛物线C的内部建立不等式->a()-1),解得a>。)
解题策略:这类题不像类型一、二一样很容易寻找到不等关系,但是我们不难寻找到某个特征点,并发现这个点是在圆锥曲线的某个区域内运动的,此时有效利用曲线的横(纵)坐标的取值范围建立不等式求解。问题的关键在于特征点的运动范围及消去新引进参数(一般为特征点的横或纵坐标)的恒等变形。
相关知识点:点P(x,y)在曲线内部:①椭圆内部+1,③抛物线内部y0得3k-b+1>0……(1),设M(x,y),N(x,y),中点P(x,y)则x==-y=kx+b=。又因为AP⊥MN,可得=-(k≠0时),整理得3k+1=2b……(2)。将(2)代入(1)得00,b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于0的渐近线的垂线L,垂足为P。设L与C的左、右两支分别交于A、B两点,求双曲线C的离心率e的变化范围。(答案:e>)
解题策略:这类题只要抓住两点:一是从直线与圆锥曲线的位置关系出发,联立方程,将题设中给出的直线与圆锥曲线的位置关系转化为一元二次方程根的存在条件,列出相关变量的不等式(或组);二是依据题设中的另外条件(如例3中的|AM|=|AN|)建立一个关于两个相关变量的等式,代入前不等式(或组)消去引入的新参数,解关于所求变量的不等式即可得解。
五、挖掘图形中的不等关系型
例5:双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点为F、F,左准线为L,P为双曲线左半支上一点,并且有|PF|是P到L的距离d与|PF|的比例中项,求双曲线的离心率e的取值范围。
简解:
易得|PF|=d|PF|,由双曲线第二定义=e与双曲线的性质得|PF|e=|PF||PF|-|PF|=2a,解得|PF|=|PF|=,借助图形在△PFF中有|PF|+|PF|>|FF|,将前式结果代入得+≥2c,解关于e的不等式得10,b>0)的左、右焦点分别为F、F,点P在双曲线的右支上,且|PF|=4|PF|,则此双曲线的离心率e的最大值为(B)。
A.B.C.2D.
解题策略:这类题要注意观察题设图形中隐含的不等关系,特别是结合圆锥曲线的第一、第二定义及动点在圆锥曲线上的运动范围,用三角形三边之间的关系式建立不等关系(因为可共线一般要取到等号),起到简化运算的作用,不失为妙法。
六、利用实数的非负性型
例6:求以x+2=0为准线,离心率e=,过定点M(1,0)的椭圆的长轴的取值范围。
简解:可设椭圆方程为+=1(a>b>0)……(1),由e==,得b=a……(2),将x=1y=0和(2)式代入(1)得+=1……(3),再根据中心到准线的距离=x+2得x=-2……(4),代入(3)得+=1,整理得y=a[1-]=a-(-3),因为y≥0,建立不等式a-(-3)≥0,变形为a-4a+3≤0,解得2a∈[2,6]。
解答说明:本题中椭圆的具体位置不确定,依据题设条件逐步消参后得到关于y、a的关系式,而由于位置的不确定性,y的范围只是由实数的非负性限定在[0,∞),从而建立关于a的不等式求解。
解题策略:这类题目解题策略和类型二类似即依据题设条件逐步消参,最后得到所求变量(如a)与某个相关变量(如y)的关系式,但与例2中的已知相关变量的范围和例3中的圆锥曲线自身变化范围不同的是,这个相关变量(如y)因为曲线位置的不确定,只能由它的实数的性质来确定范围,建立不等式。
各类型的解题策略灵活多变,但又有规律可循,在解题中多有体现。
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