微分学证不等式 [微分学在不等式证明中的应用]
时间：2019-01-03 03:23:13 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 本文分别探讨了利用函数的单调性、函数的凹凸性、微分中值定理、函数的最值来证明不等式的方法。 关键词: 微积分 不等式 应用 不等式的证明在数学学习中既是一个重点也是一个难点,方法也很多,我在此提出了以微分法求证不等式的几种方法,其在实际应用中具有较高的价值。
一、利用函数的单调性证明不等式
若f(x)在区间(a,b)上的导数保持符号不变,则可确定f(x)的单调性。定理如下:
设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。如果在(a,b)内f′(x)>0内,则f(x)在[a,b]上单调递增;如果在(a,b)内f′(x)0时,ln(x+1)>x-。
证明:设f(x)=ln(x+1)-x+,则f(x)在[0,+∞]上连续。当x>0时,有f′(x)=-1+x=>0,所以f(x)在[0,+∞]上严格单增。故当x>0时,f(x)>f(0)=0,即ln(x+1)>x-(证毕。)
利用函数的单调性来证明不等式的关键是第一步构造函数f(x),第二步利用定理判断出所构造的函数的单调性,然后得出f(x)>0或f(x)(x>1)。
二、利用函数的凹凸性证明不等式
f(x)的二阶导数的符号保持不变,这可确定f(x)的凹凸性。定理如下:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,若f″(x)>0或(f″(x)x。
证明:设f(x)=sinx-x,
则f′(x)=cosx-,f″(x)=-sinx。
因为当00,即sinx>x。
利用曲线的凹凸性证明不等式关键是先构造出函数f(x),在判断出在区间(a,b)上f″(x)的符号,从而得出曲线的凹凸性,并参考f(a),f(b)的值,即可以证明出不等式。
三、利用微分中值定理证明不等式
主要利用拉格朗日中值定理来证明不等式,定理如下:
设函数f(x)于闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导,则必有ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=。
例3.证明不等式|arctanx-arctany|≤|x-y|。
证明:设f(t)=arctant,t∈(x,y),假设xex(x>1),②ln(1+x)0)。
四、利用函数的极值证明不等式
当给定的不等式是具体的函数,该函数是连续函数,且又给出的自变量的变化范围为闭区间,欲证明它大于等于或小于等于某个定数,这时利用最值证明比较简单。
例4.设0≤x≤1,p>1,证明不等式≤x+(1-x)≤1。
证明:设f(x)=x+(1-x),则f′(x)=px-p(1-x)。由f′(x)=0,得唯一的驻点x=。由f()=,f(0)=f(1)=1,知f(x)在[0,1]上的最大值为1,最小值为,因此有≤x+(1-x)≤1。
读者还可以类似证明不等式:设x>0,0
