函数零点定理_例谈零点定义与零点定理的应用

时间：2020-02-23 07:29:12　来源：雅意学习网本文已影响人

　　零点定理是新教材中增加的一个重要定理，在解题中有着广泛的应用. 什么是零点呢？对于函数y= f （x）,我们把使f （x）=0的实数x叫做函数y=f （x）的零点. 即方程f （x）=0有实数根图像y=f （x）与x轴有交点函数y=f （x）有零点. 什么是零点定理呢？如果函数y=f （x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，且满足f （a）f （b）1
　　C. 1，由f （x）的图像性质，知只需满足f （0）f （1）1. 选B.
　　例3（2009年天津理科卷）设函数f（x）= xlnx（x>0），则f （x）（）
　　A. 在区间，（1，e）内均有零点
　　B. 在区间，（1，e）内均无零点
　　C. 在区间内有零点，在区间（1，e）内无零点
　　D. 在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点
　　解析由题意得f"（x）== . 令f"（x）>0，得x>3；令f"（x）0，故选D.
　　点评利用导数判断函数的单调性，进而判断函数值的正负，是常用的思路.
　　例4（2009年山东理科卷）若函数f（x）=axxa（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 ___________.
　　解析设函数y=ax（a>1，且a≠1}和函数y=x+a，则函数f（x）=axxa（a>0且a≠1）有两个零点就是图像y=ax（a>0且a≠1}与图像y=x+a有两个交点.
　　可知当01时，因为图像y=ax（a>1）过点（0，1），而直线y=x+a过点（0，a），在点（0，1）的上方，所以它们有两个交点. 所以实数a的取值范围是a>1.
　　点评本题是零点定义的变形应用，即把函数零点转化为两个函数图像交点，考查了指数函数图像与直线的位置关系，可根据底数的不同取值范围而分别画出图像来解答.
　　二、灵活应用
　　例5（2010年浙江文科卷）已知x0是函数f （x） =2x+的一个零点. 若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）
　　A. f （x1）0
　　C. f （x1）>0，f （x2）0，f （x2）>0
　　解析分别作出函数h（x）=2x，g（x）= 的图像，如图1，可以看出当1x0时，h（x）>g（x），f （x） =h（x）g（x）>0.故选B.
　　例6设x1与x2分别是实系数一元二次方程ax2 +bx+c=0和ax2+bx+c =0的一个根，且x1≠ x2，x1≠0，x2≠0，求证：方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1和x2之间.
　　证明令f（x）=x2+bx+c，由题意可知ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，即bx1+c=ax12，bx2+c=ax22，则f （x1） = x12+bx1+c= x12ax12=x12，f （x2）=x22+bx2+c = x22+ax22= x22.
　　因为a≠0，x1≠0，x2≠0，所以f（x1）・f（x2）　　假设关于x的方程f （x）=x存在两个不同的实数根x1，x2∈[a，b]，则f （x1）=x1，f （x2）=x2，从而|f （x1） f （x2）|=|x1x2|，这与条件②相矛盾.
　　故正确答案是B.
　　点评本题以函数零点为载体，考查同学们对抽象条件的理解及综合运用知识分析、解决问题的能力，考查创新意识. 要解决问题应从求解目标中发现问题的实质，从题设条件中合理提取有关信息，通过分析与综合，获得解决问题的办法.
　　三、创造性应用
　　看似无零点的问题，运用零点定义或零点定理解决，就是创造性的体现.
　　例9（2009年上海理科卷）过圆C：（x1）2+（y1）2=1的圆心，作直线分别交x，y正轴于点A，B， △AOB被圆分成四部分（如图2），若这四部分图形面积满足SI+SIV=SII+SIII，则这样的直线AB有（）
　　A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
　　解法一设|OA|=x ，则x>1，SII与SIV均为常数.
　　设SI=f （x），SIII=g（x），则f （x）在（1，+∞）上为增函数，g（x）在（1，+∞）上为减函数. 故函数y=f （x）g（x）+SIVSII为（1，+∞）上的增函数，且x→1时，f （x）→0，g（x）→+∞，所以y→∞；同理x→+∞时，y→+∞. 因此有且仅有一个x的值，使y=0，故应选B.
　　解法二设∠BCE=，则BE=tan，DA=cot01（m>0）或k

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