空间向量在立体几何解题中的应用_空间向量与立体几何知识点
时间：2019-05-03 03:27:38 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
引用空间向量解决立体几何中的四大类问题（平行、垂直、求角和距离），其独到之处，在于用向量代数来处理空间几何问题，淡化了传统方法的由“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化，降低了思维难度，学生容易掌握，体现了向量的工具性作用．
一、用向量解立体几何问题的程序
1. 建立恰当的空向直角坐标系；
2. 写出相关点的坐标；
3. 求出相关向量的坐标；
４. 列出相关等式；
5． 解决问题．
二、构建空间直角坐标系的主要途径
1． 利用共点的互相垂直的三条不共面的直线；
2． 利用共点的线面的垂直关系；
3． 利用平面与平面垂直的位置关系；
4． 利用正多面形的中心与几何体高所在直线．
三、利用向量解证立体几何题的基本思想方法
将有关的线段与相应的向量联系起来，并用已知向量表示未知向量，按“一建（坐标系）、二列（点的坐标、向量坐标）、三运算（通过向量的计算）”进行计算或证明，从而达到解决问题的目的．
四、空间向量解决立体几何四大类问题的具体方法
1． 用向量解决平行问题和方法
（1）设向量■，■分别是两条不重合的直线a，b的方向向量，则a?蛐?蛐b?圳■?蛐?蛐■?圳■=?姿■（?姿∈R且?姿≠0）.
（2）设直线l在平面?琢外，■是直线l的一个方向向量，■是平面的一个法向量，则l?蛐?蛐?琢?圳■⊥■?圳■·■=0．
（3）设■，■分别是两个不重合的平面?琢，?茁的法向量，则?琢?蛐?蛐?茁?圳■?蛐?蛐■?圳■＝?姿■（?姿∈R且?姿≠0）．
2． 用向量解决垂直问题的方法
（1）设■，■分别为直线a，b的一个方向向量，则a⊥b?圳■⊥■?圳■·■=0
（2）设■，■分别为平面?琢，?茁的一个法向量，则 ?琢⊥?茁?圳■⊥■?圳■·■=0
（3）设■为直线l的一个方向向量，■是平面?茁的一个法向量，则l⊥?茁?圳■?蛐?蛐■?圳■＝?姿■（?姿∈R且?姿≠0）
3． 用向量解决空间角问题的方法
（1）设异面直线a，b的夹角为?兹（0
=■，可求得?兹的大小．
（2）设直线l与平面?琢的夹角为?兹（0=■，可求得?兹的大小．
（3）设二面角?琢-l-?茁的大小为?兹（0≤?兹≤?仔），■，■分别在?琢，?茁内且垂直于棱L的向量，则?兹=或?兹=?仔-（要看■与■的方向）．
设二面角?琢-l-?茁的大小为?兹（0≤?兹≤?仔），■，■分别是平面?琢，?茁的一个法向量，则与?兹相等或互补，再结合题目条件就能确定?兹的大小．
4． 用向量解决空间距离的方法
（1）空间两点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)的距离
d=p1p2=■.
（2）点p?埸直线L，设■是直线L上的一个法向量，在L上取点A,则点p到直线L的距离d=■．
（3）设■，■分别是异面直线a，b的方向向量，■是a，b的公共法向量，在a，b上各取一点A，B，■在■上投影A1B1=■即为异面直线a，b的距离．
（4）设平面?琢的斜线为AO，O是斜足，■是?琢的一个法向量，则点A到平面?琢的距离D=■．
责任编辑 罗 峰
