【初中数学竞赛中的数字特点问题】反比例函数动点问题初中数学竞赛

时间：2019-02-11 03:30:10　来源：雅意学习网本文已影响人

　　初中数学竞赛中的许多试题都与数字特点有关，常见的有以下几种：　　　　一、末位数字　　　　根据整数的末位数字可以判断整数的整除性以及是否为完全平方数或连续自然数的乘积。
　　例1已知（a-2111） +（2112-a） =2113，求（a-2111）（a-2112）的值。
　　解：∵（a-2111） +（2112-a）
　　 =［（a-2111）+（2112-a）］ -2（a-2111）（2112-a）
　　 =1 +2（a-2111）（a-2112）
　　 =2113
　　∴（a-2111）（a-2112）
　　 = （2113-1）
　　 =1056
　　 =33×32
　　接着可以求出a=2144。
　　例2方程1+1×2+1×2×3+…+1×2×3×…×x=y +5的正整数解x=?摇?摇?摇?摇，y=?摇?摇?摇?摇。
　　解：x=1时，1=y +5，无实数解。
　　x=2时，3=y +5，无实数解。
　　x=3时，9=y +5，y=2。
　　当x≥4时，前4项的和为33，后面的项均为10的倍数，故个位数一定为3，所以y +5是奇数，y 是偶数。偶数的平方的个位只能是0、4或6，所以y +5的个位数只能是5、9或1，因此，y无解，故只能是x=3，y=2。
　　二、各位数字和
　　根据整数的各位数字和可以判定数的整除性以及是否有可能为完全平方数。
　　例3有一个60位整数，其中有30位是1，另外30位是0。求证：这一个数不是完全平方数。
　　证明：因为这个数的各位数字之和为30，而30是3的倍数但不是9的倍数，根据数的整除性判断法则，这个数本身是3的倍数但不是9的倍数。
　　不妨设此数为3N，其中N是不含因数3的正整数，那么它的算术平方根为，不论N是否为完全平方数，均不可能为整数，所以这个数一定不是完全平方数。
　　三、循环节
　　根据循环小数的循环节，可以确定某些相关数值。
　　例4已知a为整数，且满足0　　解：因为 =0. 4285
　　 =0. 8571
　　 =0. 2857
　　 =0. 7142
　　 =0. 1428
　　 =0. 5714
　　由上可知，这7个真分数化为循环小数后，它们的循环节的数字完全相同，只是排列位置不同，每个循环节的各位数之和为1+4+2+8+5+7+1=28。
　　设前若干位的位数为6N+r，其中N，r都是整数，r满足0≤r＜6，那么这7个循环小数的前6N位数字之和当N取任意正整数是都相同，而且是28的倍数，所以后r位数字之和为20，这样，就要求的循环节的前r位数字之和为20，经过计算，只有的循环节的前5从位数字之为20，所以a=1。
　　如果把2008变为2016，则a的值不能确定，还有多种情况下，若干位数字之和变为其它数字时，a的值不能确定，有兴趣的读者可以自行研究。
　　此外，数字的特殊结构也是解决某些竞赛题的突破点，限于篇幅，本文未予专题研究。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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