线性代数坐标变换 [坐标变换]
时间：2019-02-05 03:29:45 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
文章编号：1005-6629(2010)04-0069-03 中图分类号：G633.8 文献标识码：B 1、从2009年江苏高考最后一问谈起
试题：在1个Cu2O晶胞中(如图1所示)，所包含的Cu原子数目为_____。作为全卷的最后一问，格外引起考生和教师的关注，应当说试题并不难，可答完试题后，也许有些老师和同学会进一步追问：该晶胞属哪种类型?可能首先想到的解答是体心立方，因为该晶胞的顶点和体心处均为氧原子。但根据晶胞的平移对称性，对于体心立方，当顶点平移到体心时，所有的原子均应复原，由图2可知，当氧原子从顶点A处平移到体心B点处时，铜原子C应当平移到D点处，可实际上晶胞中D点处并无对应的铜原子存在，即铜原子没有复原，由此可见，仅关注氧原子。就判断晶胞为体心立方是不正确的。从图1呈现的晶胞形状看，晶胞参数a＝b＝c，a＝β＝γ＝90°，有4个通过体对角线的3重旋转轴，完全符合立方晶胞的要求，表明它确属立方晶系，但由于它没有作为体心立方，还应该有的3个通过体心、垂直于晶面的4重旋转轴，所1以Cu2O晶胞只能属于简单立方，对应空间点阵只有一个点阵点，该点阵点对应的结构基元包含2个O原子、4个Cu原子。
那么，在识别晶胞时，还有没有识别常见晶胞的新视角。避免犯错误呢?
2、分数坐标
借助于坐标系，可以更好地表征晶胞中各原子在空间的相对位置。晶体的坐标系称为晶轴系，晶轴系以晶胞参数a、b、c分别为晶轴x、v、z的单位向量(如图3)，坐标原点习惯用字母D表示，本文中的晶轴系在平移前坐标原点均取和该图一致。晶胞中任一原子P的位置可用向量代表。则(x，y，z)称为P点的坐标。由于P点在晶胞内，x、y、z≤1，因此习惯上称x、y、z为原子P的分数坐标。采用分数坐标时，晶胞中原子坐标组数与晶胞中实际占有的原子个数相当，即净含几个原子就写几组坐标。以常见的金属晶体晶胞为例(见表1)：
3、用分数坐标变换识别晶胞类型
根据点阵的定义：按连接其中任意两点的矢量将所有的点平移而能复原的一组无限多个点。因而，将空间点阵中的一个点平移到另外一个点时，虽然该点的分数坐标值有变化，但由上述点阵的平移呈对称性，空间点阵中点的分数坐标整体上应该是等价的、复原的。对于有实际内容的晶胞，当根据晶胞参数初步判断出晶胞类型后，按相应的点阵型式，将坐标原点从起始原点平移到另一点阵点对应位置时。该点阵点对应原子的分数坐标当然会有变化，但这种变化应只是同一类型原子的分数坐标之间的一种交换，就整个晶胞而言，同样也应是不变的，这就为我们提供了一种识别晶胞类型的新视角。
如金刚石晶胞，从它的大小和形状可以初步判断为面心立方，确证时可以先写出晶胞中所有点的分数坐标，图4中A点的分数坐标为1/2，1/2，0，再将坐标原点从O点平移到A点，此时A点的分数坐标为O，O，O，这也就意味着，其他所有碳原子的分数坐标的x值均减去1/2、y值均减去1/2，而z值均保持不变。需要注意的是，进行变换操作时，若分数坐标值出现负数，根据点阵的平移对称性，应该加上1。由表2数据可见平移前后，晶胞内碳原子的分数坐标不变，确证金刚石晶胞为面心立方。
4、分数坐标在晶胞变换中的应用
再观察Cu2O晶胞，从分数坐标变换的角度看，如果Cu2O是体心立方，则当坐标原点移到体心时，体心O原子的分数坐标从(1/2，1/2，1/2)变为(O，O，O)，此时所有Cu原子的分数坐标x、y、z应分别减去1/2、1/2、1/2，平移后cu原子应当复原，而实际上表3平移前后的数据可以看出，Cu原子没有复原，而是从图1位置平移到以体心氧原子为对称中心的对称处了，可见，Cu2O晶胞不是体心立方，由于对称性降低，而只能是简单立方。
有趣的是，有同学会提出这样的问题，若将Cu2O晶胞的顶点从氧原子变为铜原子，该晶胞将如何画?类似地晶胞变换问题，应当说对空间想象能力有较高的要求，笔者在近期的化学竞赛辅导教学中发现，从分数坐标变换角度可以化难为易，变换时可先结合图1写出平移前晶胞中氧原子和铜原子的分数坐标，然后再将坐标原点从氧原子平移到其中一个铜原子(3/4，1/4，1/4)处，使其分数坐标为
(O，O，O)，根据变换规则可得表4中的平移后的分数数据，进而根据平移后的分数坐标数据不难画出以铜原子为顶点的Cu2O晶胞图，见图5所示。
同样，人教版《物质结构与性质》选修模块教材中CaF2的晶胞图(图6)，图中顶点为阳离子，这与离子晶体顶点一般为阴离子不符，变换时同样可以先写出该晶胞中Ca2+、F-的分数坐标，然后将坐标原点平移到其中的一个F(1/4，1/4，1/4)处，使其分数坐标为(O，O，O)，这样便可得到表5的平移后的分数坐标，由此套分数坐标可知，晶胞中的8个F-位于立方体的顶点、面心、棱心和体心处，4个Ca2+则在晶胞内部构成的一个正四面体(图7)。
