巧妙分解,,化难为易|化难为易是成语吗

时间：2019-02-03 03:25:18　来源：雅意学习网本文已影响人

　　2011年全国高校普通招生考试理科数学试题（新课标卷）第18题如下：　　如图1，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.
　　（Ⅰ）证明：PA⊥BD.（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余值.
　　标准答案为：
　　已知∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，故BD+AD=AB，所以BD⊥AD①，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD②，由①②得：BD⊥平面PAD，所以PA⊥BD.
　　（Ⅱ）如图2：以D为坐标原点AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D―xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1），则=（-1，，0），=（0，，-1），=（-1，0，0）.设平面PAB法向量为n=（x，y，z），则有n•=0n•=0，即-x+y=0y-z=0，可取n=（，1，），设面PBC的法向量为m，则m•=0m•=0，可取n=（0，-1，-），所以有cos〈m，n〉==-，故二面角A―PB―C的余弦值为-.
　　在批卷时候，我发现有位考生的解法非常巧妙，他的解法如下.
　　如图3：过点D向PB引垂线，垂足为E，连接AE.
　　容易证明：
　　AD⊥BD，ABCD为平行四边形?圯BC⊥BDPD⊥底面ABCD?圯BC⊥PDBC⊥平面PBDBC?奂平面PBC平面PBD⊥平面PBC
　　所以，二面角A―PB―C可以看做是平面PBC与平面PBD所成的二面角和平面PBD与平面PAB所成的二面角之和.
　　由上面的证明可知：平面PBC与平面PBD所成的二面角为90°.
　　⊥DEPB⊥平面ADE
　　故AE⊥PB，所以∠AED就是平面PBD与平面PAB所成的二面角.
　　设AD=1，由已知得PD=1，AB=2，
　　在直角三角形ABD中：DB===，
　　在直角三角形PBD中：PB===2，
　　在直角三角形PAD中：PA===.
　　在三角形APB中，由余弦定理得：cos∠ABP=，所以sin∠ABP=.
　　由等积法得：AB•BPsin∠ABP=AE•BP，解得AE=.
　　在三角形ADE中，AD⊥BDPD⊥底面ABCD?圯AD⊥PDAD⊥平面PBDDE?奂平面PBD?圯AD⊥DE
　　所以三角形ADE为直角三角形，且sin∠AED===，
　　所以cos〈二面角A―PB―C〉=cos（∠ABP+90°）=-sin∠AED=-，
　　故二面角A-PB-C的余弦值为-.
　　分析，数学中当遇到较为复杂的问题时，会采用“分解与组合”的方法，即把一个疑难问题分解成若干个比较容易的小问题，最后将它们组合起来，就可以解决疑难问题了.上面这种解法很容易证明出平面PBD与平面PBC垂直，考生巧妙地把钝角二面角分割成一个锐角和一个直角，空间想象力极为丰富，想象在所求的二面角中垂直插入一块木板（平面PBD）。这样大大简化了解题步骤，减少了计算量.在诸多复杂的解题方法中，可以算是一种精妙无比的解法.此题是唯一可以运用“巧妙分解，化难为易”解题思想来解的题.
　　参考文献：
　　［１］2011年高考试题汇编.
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