【变系数时滞细胞神经网络概周期解的存在性与全局吸引性】 时滞神经网络
时间：2019-01-11 03:19:39 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文利用指数二分法、Banach不动点理论和一些不等式分析技巧，研究了一类变系数的时滞细胞神经网络的概周期解的存在性与全局吸引性。在不要求激励函数有界的条件下得到了时滞细胞神经网络（DCNNS）的概周期解的存在性，唯一性和全局性吸引性的充分条件，所得结论对设计DCNNS概周期振荡解具有重要意义。
关键词： 细胞神经网络 概周期解 全局吸引性 指数二分法 Banach不动点定理
1.模型的描述和准备
本文考虑如下变系数的时滞细胞网络：
=-c（t）x（t）+a（t）f（x（t））+b（t）g（x（t-τ））+I，t≥0，i=1，2，…，n（1.1）
系统（1.1）可以改成下面的向量形式：
=-c（t）x（t）+A（t）f（x（t））+B（t）g（x（t-T））+I（t）（1.2）
在系统（1.1）和（1.2）中，n表示神经元的个数，x（t）是第i个神经元在t时刻的状态.f，g表示神经元的激励函数，均为连续函数，且满足f（0）=g（0）=0，j=1，2，…，n.C（t）=diag（c（t），…，c（t）），…，c（t）＞0（i=1，2，…，n）是连续的概周期函数.a（t），b（t）分别表示t时刻和t-τ时刻神经元之间的连接权.τ表示外部输入，τ≥0是传递时滞，且τ＝{τ}，a（t），b（t），I（t）和c（t）均为连续的概周期函数.对i，j=1，2，3，…，n，我们设：
c=c（t）＞0，I=|I|＜+∞，a=|a|＜+∞，b=|b|＜+∞.
定义1.1［２］ 设x（t）:R→R是连续函数，称x（t）是R上的概周期函数.若对任给的ε＞0，存在l=l（ε）＞0，使得在每个长度为1的区间内总存在τ=τ（ε），使|x（t+τ）-x（t）|＜ε，对一切t∈R成立.
定义1.2 称线性系统=Q（t）x（t），（1.3）
在R上具有指数二分性是指存在常数k，α＞0及投影p，使系统（1，3）的基解矩阵X（t），对任意的s，t∈R满足：
|X（t）PX（s）|≤Ke（t≥s）
|X（t）（I-P）X（s）|≤Ke（t≤s）.
引理1.1［２］ 设线性系统（1，3）满足指数二分性，则概周期系统
=Q（t）x（t）+f（t）（1.4）
存在唯一的概周期解ψ（t）=?蘩X（t）PX（s）f（s）ds-?蘩X（t）（I-P）X（s）f（s）ds
引理1.2［２］ 假设q（t）是一个概周期函数，并且：M［q］=?蘩q（s）ds＞0，i=1，2，…，n，则系统=diag（-q（t），…，-q（t））z（t）具有指数二分性.假设系统（1.1）的初始条件为：x（t）=φ（t），t∈［-τ，0］，i=1，2，…，n，其中φ（t）是连续的概周期函数.令cc（［-τ，0］，R），对任意的φ=（φ，φ，…，φ）∈C，我们定义范数：‖φ‖=|φ（θ）|.
下面，我们列出本文所要用到的一些假设：
（H1） 存在常数M＞0，N＞0（j=1，2，…，n），使：
|f（x）-f（y）|≤M|x-y|，
|g（x）-g（y）|≤N|x-y|，?坌x，y∈R
（H2） 存在一组正数d，d，…，d，使max{dd（aM+bN）}ρ＜1
2.主要定理及证明
对于任意的向量x（t）=（x（t），x（t），…，x（t）），定义范数：‖x（t）‖=|dx（t）|，其中d是（H2）中所有定义.设A={ψ（t）|ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），…，ψ（t））}，其中ψ（t）是R→R上的连续概周期函数.对于任意的ψ（t）∈A，定义诱导模：‖φ‖=‖φ（t）‖，则（A，‖.‖）是一个banach空间.
定理2.1 设（H1），（H2）成立，且满足
（H3） M［C］=?蘩c（s）ds＞0，i=1，2，…，n，则在|φ-φ|≤β，系统（1.1）存在唯一的概周期解.其中，β={d}，ψ（t）=［?蘩eI（s），…，?蘩eI（s）ds］.
证：对任意的φ（t）∈A，考虑非线性概周期微分方程
=-c（t）x（t）+a（t）f（φ（t））+b（t）g（φ（t-τ））+I（t），j=1，2，…，n（2.1）
因M［C］＞0，由引理1.2，线性系统=-c（t）x（t）在R上具有一种指数二分性.由引理1.1，系统（3.1）存在唯一的解x（t），且具有如下形式：
x（t）={?蘩e［a（s）f（ψ（s））+b（s）g（ψ（s-τ））+I（s）］，…，?蘩e［a（s）f（ψ（s））+b（s）g（ψ（s-τ））+I（s）］ds}
下面我们定义映射F:A→A F（φ）（t）=x（t），φ∈A
令 A={φ/φ∈A，‖φ-φ‖≤β}，
显然A是A中的闭凸子集，于是有：
‖φ‖≤ {d?蘩|I（s）|eds}≤ {d ?蘩ceds}=β
所以对任意的φ∈A，有：
‖φ‖≤‖φ-φ‖+‖φ‖≤β+β=
下面，我们先证明映射F是A→A的自映射.事实上，对于任意的ψ∈A，有：
‖F（ψ）-ψ‖=‖F（ψ）（t）-ψ（t）‖
≤ {d?蘩e|d+bdNψ（s-τ）|ds}
≤ {d?蘩ed（aM+bd）ds‖ψ‖}
={dd（aM+bd）ds}‖ψ‖≤β
即F（ψ）∈A，因此，映射F是A→A的自映射.
其次，证明映射F是A上一个压缩映射，事实上，由条件（H），（H），对于任意φ，ψ∈A，有‖F（ψ）-ψ‖=‖F（ψ）（t）-ψ（t）‖
≤{d?蘩eaf（?准（s））-f（ψ（s））+bg（?准（s-τ））-g（ψ（s-τ））ds}
≤ {d?蘩ed（adM|?准（s）-ψ（s）|+bdN|?准（s-τ）-ψ（s-τ）|）ds}
≤ {d?蘩ed（aM+bN）ds‖?准-ψ‖}
={dd（aM+bN）}‖?准-ψ‖=ρ‖?准-ψ‖
因0≤ρ≤1，显然F是一个压缩映射.
因此，由Banach不动点定理知，F有唯一的不动点ψ∈A，使Fψ=ψ，所以ψ（t）是系统（1.1）在A上的唯一概周期解.
令ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），…，ψ（t））是（1.1）唯一的概周期解，x（t）=（x（t），x（t），…，x（t））是系统（1.1）的任意解，则有：
=-c（t）x（t）+a（t）f（x（t））+b（t）g（x（t-τ））+I（t），
=-c（t）ψ（t）+a（t）f（ψ（t））+b（t）g（ψ（t-τ））+I（t）
令y（t）=x（t）-ψ（t），F（y（t））=f（x（t）-f（ψ（t）））
G（y（t-τ））=g（x（t-τ））-g（ψ（t-τ））
Φ（t）=φ（t）-ψ（t），（i，j=1，2，3，…，n）
则可得到下面的系统：
=-c（t）y（t）+a（t）F（y（t）） +b（t）G（y（t-τ）），t≥0，y（t）=Φ（t），t∈［-τ，0］
显然，系统（1.1）的概周期解的全局吸引性与系统（2.2）的零解的全局吸引性是等价的，为此我们下面仅考虑（2.2）零解的全局吸引性.
定理2.2 假设条件（H），（H）成立，则对于任意的Φ∈C，有
‖y（t）‖≤‖Φ‖，?坌t≥0
证：对（2.2）使常数变易公式，可得：
d|y（t）|≤ed|Φ（0）|+?蘩ed（aM|y（s）|+bN|y（s-τ）|）ds（2.4）
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 对任意的Φ∈τ，令D=‖Φ‖＞0，为了证明（2.3），我们首先要证明对任意的h＞1，有：
‖y（t）‖＜hD，?坌t≥0（2.5）
如果（2.5）不成立，则存在t＞０，得‖y（t）‖=hD，‖y（t）‖≤hD，t∈［0，t］
因此由（2.4），则有：
hD=‖y（t）‖={d|y（t）|}≤{e‖Φ‖}+?蘩edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds}≤{e+?蘩ceds}dd（aM+bN）}hD={e+（1-e）ρ}hD＜hD
显然，这是矛盾的，所以（2.5）成立，令h→1，则（2.3）成立.特别地，系统（2.2）的解是一致有界的.
定理2.3 设（H），（H）成立，则系统（2.2）的平衡点是全局吸引的，从而系统（1.1）的概周期解是全局吸引的.
证：对任意的Φ∈C，由定理（2.2）的证明知：
‖y（t）‖≤D，?坌≥0（2.6）
因此存在常数σ≥0，使sup‖z（t）‖=σ（2.7）
假设σ>0，则由上极限的定义，对于任意小的常数ε>0，存在t≥0，使当t≥t时，有：
‖y（t）‖≤（1+ε）σ，‖y（t-τ）‖≤（1+ε）σ（2.8）
因为c>0，所以对上面的ε>0，d和D，存在T>0，使当t≥T，有：
?蘩edd（aM+bN）Dds≤ε，i=1，2，…，n（2.9）
于是由（2.4）和（2.6）→（2.9），当t≥t+T，有：
d|y（t）|≤edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds
≤eD+?蘩edd（aM+bN）Dds+?蘩edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds
≤eD+?蘩edd（aM+bN）Dds+?蘩edsdd（aM+bN）（1+ε）σ
≤eD+ε+（1-e）dd（aM+bN）（1+ε）σ
因此，‖y（t）‖={d|y（t）|}
≤{eD+ε+（1-e）ρ（1+ε）}
≤{eD+ρ（1+ε）}
令t→+∞，ε→0，那么，σ≤ρσ，因此ρ＞1，和（H）矛盾，因此σ≡0.
参考文献：
［1］L.Q.Chua and L.Yang，Cellular neural networks:Theory and application，IEEE Transactions on Circuits and Sydtems，35，1257-1272，1988.
［2］何崇佑.概周期微分方程.高等教育出版社，北京：1992.
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