【数形互助相约函数浅识】形函数
时间：2019-01-09 03:30:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 数形结合是中学数学的重要思想，是解题的重要思想和方法，解题时用“数”与“形”的相互转化，把问题化难为易、化繁为简，使解题事半功倍。本文例举几例数形结合在函数中的应用。
关键词： 二次函数 函数图像 数形结合 应用
数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化；数形结合是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考高考对考生数形结合能力的考查越来越多，同学们在解题时用“数”与“形”的相互转化，把问题化难为易化繁为简，达到了解决问题的目的，也收到了事半功倍的效果，下面我举几例研究数形结合在函数中的应用。
一、以“形”帮“数”
我们解题时，常常发现大量“数”的问题中隐含着“形”，我们可以将抽象、复杂的数量关系形象、直观地揭示出来，以达到“形”帮“数”的目的，让理性的“数”多一些感觉.
例1：下面是一个二次函数y与x的对应关系表：
（1）该抛物线对称轴的直线方程是?摇?摇?摇?摇.
（2）若抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边）与y轴交于点C，求S.
解析：（如图1）
解法（1）：任取三组表中x、y的对应值求表达式，可得y=x-2x-3，从而得到对称轴为直线x=1.
（2）由y=x-2x-3得，抛物线与x轴的两个交点A（-1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，-3），∴AB=4，∴S=6.
方法二：（1）观察知：函数图像过（0，-3），（2-3），这两点关于对称轴对称，可得对称轴为直线x=1.
（2）由表格知A（-1，0），C（0，-3）再加上对称轴x=1可得B（3，0）， ∴AB=4，∴S=6.
二、以“数”促“形”
我们解题时会发现图形中常常体现着数的关系，运用“数”的规律，我们可以寻找出处理“形”的方法，来达到“以数促形”的目的，让感性的“形”多一些理性.
例2：已知二次函数y=ax+bx+c的图像如图2，下列结论：
①a+b+c＜0②a-b+c＞0 ③abc＞0④c＞-3b
正确的个数是（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及表达式中各系数与图形性质对应关系，再做出判断.
观察图知，当x=-1和x=1时，分别有y＞0和y＜0，即有a-b+c＞0和a+b+c＜0，可得①、②正确.
由抛物线开口向下知a＜0
对称轴x=-=-1 ∴b=2a
∵对称轴在y轴的左侧， ∴a、b同号，∴b＜0.
又由于抛物线和y轴的交点在x轴的上方，所以c＞0，则abc＞0，即③正确.
将b=2a代入a+b+c＜0中可得3a+c＜0，所以c＜-3a.
故④不正确，所以应该选B.
三、“数”“形”互转
依形判数，以数助形，直观形象，用运动变化的观点去观察分析，运用图形来观察图形的变化规律，根据图形的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组来求解.
例3：如果方程x+2ax+k=0的两个实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，试求a与k应满足的关系式．
分析：我们可联想对应的二次函数y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线（如图3）．要使方程x+2ax+k=0的两实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，则对应的函数图像y与x轴的交点应在函数图像y与x轴的交点之内，它等价于抛物线y的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y的顶点纵坐标．由配方法可知y与y的顶点分别为：P（-a， -a+k）， P（-a， -a+a-4），故-a+a-40时，y与y有两个交点，原方程不同解的个数有两个．
参考文献：
［１］新人教版八年级数学.高中数学新课程改革.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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