【在数学教育中发展学生思维的深刻性】学生物理思维深刻性的培养爱学术
时间：2018-12-27 03:33:58 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学是思维的科学，从这个角度来看，数学教学的根本任务是优化学生的思维品质。在数学思维的各种品质中，处于核心位置的是思维的深刻性。因为它是各种思维品质的基础，是数学观念、数学意识的集中反映。实施数学新课标，使人人学有用的数学，是数学教育实现平民化和大众化的需要。而数学思维的深刻性的特征是：“能分清主次，从本质上揭示数学的逻辑结构；能洞察研究对象和事实的实质，以及它们之间的内在联系；能从所研究的材料中找出被掩盖的个别特征，能组合各种具体模式。”在新时代里，不管从事什么工作，人人都会面临各种各样的复杂局面与激烈竞争，思维的深刻性将帮助人们进行精准的分析判断，以作出正确的决策，取得获胜的先机。所以发展学生思维的深刻性是贯穿数学教育始终，且有利于他们终生发展的重大任务。
1.深刻性是抽象概括形成数学概念的条件
数学最主要的特征就是其抽象性，基于此才具有了应用的广泛性。学生到了高中，研究对象的抽象度大大提高，许多概念都是对具体事物经过抽象概括而形成的，抽象概括是对事物本质属性的提炼，思维的深刻性是抽象概括的基础。
世界上的万事万物有着各种属性，其中有的是非本质的，有的是本质的，体现事物功能的属性就是本质属性。如三角形，它可以由各种材料制成，可以在上面涂上各种颜色、添加各种文字和花纹，但数学一概不管这些非本质属性，数学只关心它的边与角间的各种关系，以及与其他图形的位置关系，如三个内角的和为180°，任意两边之和大于第三边，勾股定理，正弦定理，余弦定理，圆与三角形的关系等。这种去伪存真、去粗取精的能力正是思维深刻性的反映。
例1：课例：《交集与并集》。
若缺乏本质的理解，学生即使将交集和并集的定义背得滚瓜烂熟也无法应用于实际问题，关键在于对“且”与“或”这两个字的实质性的理解。笔者用四种语言，即文字语言、图形语言、符号语言和生活语言“四管齐下”的方式，促使他们的深刻领悟，逐步由形象和直觉的感悟过度到抽象的概括。如设集合A={牛、马，羊，猪，鸡}，集合B={牛，马，羊，骆驼，大象}，那么A∩B={牛，马，羊}，A∪B={牛、马，羊，猪，鸡，骆驼，大象}。若用两个矩形来表示（如图1），即将规律揭示得非常清楚，特别是A∪B，它的元素一般分成三部分，即属于A，不属于B；属于B，不属于A；既属于A，且属于B。这里也不是非用矩形不可，只要抓住本质，用圆或其他任何图形都可以。在此基础上，通过顺应，交集和并集的性质自然就昭然若揭了：
（1）若集合A的元素个数记为card（A），则有card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）。
（2）若图1中集合A对应部分的面积记为S（A），则有S（A∪B）=S（A）+S（B）-S（A∩B）。
思维的深刻性使人们具有一双慧眼，在这双慧眼里，上面的两个关系并没有根本的区别，完全可以达到一种无差异的高境界，而且还可以作进一步的推广，对于线段的长、体积、人数等，都可以得到相应的关系式，这表明认识的升华与数学素养的质的提高。学生对于“且”与“或”的深刻认识十分有利于后续的学习，如《简易逻辑》中的“且”与“或”、“分步、分类”两个计数原理、解决《排列组合》中用“乘”或“加”、概率的乘法公式P（AB）=P（A）P（B）与加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），都在“且”与“或”上有本质的联系，并实现本质的沟通。
2.深刻性是构建知识与技能网络系统的基石
在数学教学中揭示各部分知识与技能之间的内在联系，实现本质的沟通，构建知识与技能网络系统，是发展学生思维、提高分析与解决问题能力的必经之路。而深刻性则是构建知识与技能网络系统的基石。例1中关于“且”与“或”展示的就是一个知识与技能网络系统，同时显示了思维的广阔性。
例2：建立在任意角的三角函数定义基础上的一个知识系统。
如图2，角的终边与以半径为r的圆交于点P（x，y），
则有sinα= cosα= ①
由①式自然可得x=rcosα，y=rsinα。②
用②式，由r与α可反过来求P点的坐标。
②式中的两式两边分别平方，并相加，得x +y =r ③
③式就是以原点为圆心，半径为r的圆的方程。
③式可化为( ) +( ) =1，则可得x=rcosαy=rsinα④
④式与②式虽有相同的形式，但可有不同的视角，可认为是圆的参数方程，也可以认为是三角代换的产物。不同的视角可有不同的感受，但获得的是知识之间的融会贯通。
由三角代换可联想到，若非零实数a、b、c满足a +b =c ，则可化为( ) +( ) =1，则可得
a=ccosαb=csinα⑤
或由a+b=c（a、b、c为正实数），得 + =1，
则 =sin α， =cos α。⑥
由( ) +( ) =1还可展现一种重要的代换：
asinα+bcosα= ( sinα+ cosα)= sin(α+φ)⑦
④⑤⑥⑦等展现的是以三角代换为基本内容的转化。
将思绪进一步拓展，可得向量 =(x，y)=r(sinθ，cosθ)、复数z=x+yi=r(cosθ+sinθ)，与⑦式如出一辙。
由④式还可联想到，若将椭圆方程 + =1(a＞b＞0)化为( ) +( ) =1，则又可得
x=acosφy=bsinφ⑧
⑧式究竟是什么？是三角代换的产物？还是椭圆的参数方程？已经不重要了，重要的是立根于任意角的三角函数定义“这粒种子”，发展成“一棵参天大树”，在学生的心目中构成了一个能够纵横联系、自由驰骋，且简洁和谐的统一体。遇到相关问题，就可以进行有效的检索，迅速组成“杀伤力”极强大的“火力系统”，使新颖陌生的问题“俯首称臣”。
3.深刻性是实现创造思维制服“难题”的法宝
基于上面的讨论，我们认识到深刻性十分有利与在更广阔的知识与技能的背景中进行检索，以迅速找到解决问题，特别是制服那些所谓的“难题”的法宝，提升数学能力。
例3：求函数y= + 的值域。
这是一道高考题的核心部分，虽然解决的方法多种多样，但下面的一种更具启迪意义：
由题设知-1≤x≤1，则可设x=sinθ(- ≤θ≤ )，所以，y =2+2 =2+2cosθ，y ∈［2，4］，故所求函数的值域为［ ，2］。
这里运用的是又一种形式的三角代换，与例2有所区别，但深刻性使三角代换这个技能得到迁移，从而出奇制胜地解决了问题。
4.深刻性是戒误纠错的“灵方妙药”
在整个数学教学过程中，不仅要树立“正面形象”，而且要时时利用典型错误作为“反面教员”，促使学生深刻理解知识与技能的本质，以敏锐的观察力洞悉、发现、纠正解题过程中的错误，彰显思维的批判性。G•波利亚说得好：“教学生解题是意志的教育，具有孜孜不倦追求真理的顽强意志是深化思维、提高能力的有力保证。”
例4：如图3，斜三棱柱ABC-A B C 的底是等腰直角三角形，直角边AB=AC=2，侧棱与底面成60°角，BC ⊥AC，BC =2 ，求BC 与底面ABC所成的角。
学生按常规，不难得如下解法：
∵AC⊥AB，BC ⊥AC，
∴AC⊥面ABC ，面ABC⊥面ABC 。
作C H⊥AB于H，连CH，则C H⊥面ABC，∠C BH、∠C CH分别是BC 、C C与底面所成的角，
∴∠C CH=60°。
设AH=x，则BH=2-x，
在Rt△BC H中，C H= ，
在Rt△ACH中，CH= 。
在△C CH中，tan∠C CH=tan60°= = = 。
解此方程，得x=2，或x=-1。
似乎是一帆风顺，可是在教师意料之中的错误还是不可避免地出现了，学生普遍认为x=-1不合理，舍去；x=2时，H与B重合，也不合题意，舍去，故原题无解。
教师：好不容易得两个值，可都被舍掉了，真是太可惜了！
学生（自豪）：那也得舍，不能感情用事！
教师：还是小心为妙，防止造成“冤假错案”，“一失足成千古恨”啊！
幽默风趣的语言对学生固有的思维产生一股强大的冲击力，学生渐渐地认识到当x=2时，点H与B重合，此时可得所求角为90°。可还有学生认为x=-1不合理，再一次促使学生思维深化，最后学生认识到当x=-1时，点H在BA的延长线上，也有意义，此时可得所求角为arctan 。
只要我们坚持不懈，天长日久，发展学生思维深刻性这项系统工程一定会获得丰硕的成果。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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