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    一类非线性系统轨线的全局分析|非线性系统第三版pdf

    时间：2018-12-23 19:41:21　来源：雅意学习网 本文已影响 人 雅意学习网手机站

    　　摘 要： 为了研究平面自治系统的轨线在全平面上的分布情况，本文通过考察有限远奇点、无限远奇点、闭轨来进行该非线性系统轨线的全局结构分析. 　　关键词： 奇点 闭轨 Poincare′变换
    　　
    　　分析系统
    　　=x（x+by+1）?勖P（x，y）=y（x+by-b）?勖Q（x，y）（b＞0）（1）
    　　的轨线的全局结构.
    　　解：1.分析有限远奇点，解方程组
    　　x（x+by+1）=0y（x+by-b）=0
    　　可得有限远奇点为O（0，0），E（0，1），E（-1，0）.
    　　对应于奇点O（0，0）的特征方程为λ+（b-1）λ-b=0，特征根λ=1，λ=-b＜0，O（0，0）是鞍点.
    　　对应于奇点E（0，1），有
    　　=b+1，=0，
    　　=1，=b.
    　　特征方程为b+1-λ 01 b-λ=（b+1-λ）（b-λ）=0，特征根λ=b+1，λ=b.E（0，1）是不稳定结点.
    　　对应于奇点E（-1，0），有
    　　=-1，=-b，
    　　=0，=-1-b.
    　　特征方程为-1-λ -b0 -1-b-λ=（-1-λ）（-1-b-λ）=0，特征根λ=-1，λ=-b-1.
    　　E（-1，0）是稳定结点.
    　　2.讨论闭轨，由于x=0，y=0都是解，奇点A（0，0），A（0，1），A（-1，0）分别落在这两条直线上，故方程组（1）无闭轨线.
    　　3.讨论无穷远奇点.
    　　（�）作Poincare′变换
    　　u=，z=，
    　　将系统（1）化成
    　　=-u-bz=-bu-z-1（2）
    　　（�）求无穷远奇点并判断其类型，方程组（2）在z=0上无奇点.
    　　（�）在vOz平面上补充讨论，令
    　　v=，z=，
    　　（1）变为
    　　=（1+b）v=-v+bz-b
    　　（0，0）显然不是此系统的奇点.所以此系统不存在无穷远奇点.
    　　参考文献：
    　　［1］马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法［M］.北京：科学出版社，2001.
    　　［2］张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜.微分方程定性理论［M］.北京：科学出版社，1985.
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