例说设元与形式化原则的关系:适度形式化原则
时间：2018-12-27 03:26:38 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
用字母代替数字，是中学生最先接触到的数学思想，也是初等代数以至整个数学领域最重要的、最基础的数学思想之一。在数学中，由字母代数、各种量、量的变化以及量与量之间进行推理与演算都是以符号形式来表示的，即进行着一整套的形式化的数学语言，这里的符号形式包括数字、字母、图形和图表以及各种特定的符号。广泛地使用符号，有利于问题的陈述、推理的表达和定量的计算，大大简化加速了思维进程。［１］初等数学中方程的思想直接与用字母代替数的思想相关，方程的思想处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重要的方法论意义。因为不等式与等式有许多类似的性质，所以数、式、方程常被统一的用于解决具体问题。
在列方程或不等式解决问题的过程中，用字母代替数即为设元，包括直接设元、间接设元及辅助设元。设元直接体现了中学数学方法的形式化原则：一切数学都可由符号加以形式的表述，数学教育必须重视形式化。［２］在中学数学教学中，帮助学生善于用数学的观点和方法去处理日常生活中的实际问题，需要加强形式化问题的教学，其中考虑通过设元将一个问题转换成另一种表现形式是否能合适、方便地解决问题是一个重要的方面。张奠宙认为学习数学就是学习一个形式系统，并从这一侧面把数学问题分为三类，这里简单叙述为：一个形式系统内基础操作练习性问题；把实际等问题在一个系统内形式化，并运用系统内的操作规则，兼顾符号的意义，可解决的问题；形式化了的需返回其模型或转化成其他形式的问题。其中对第二类问题的描述实际上提供了一个解决一类实际问题的一般思路。通过设元可以把问题转化为解方程或不等式的问题，在这一过程中需结合元所代表的实际意义，并引申为其对形式化了的问题中某些方面的限制。在中学数学中常见的列方程（组）或列不等式（组）解应用题是这类问题的一部分。许多问题在列方程时，可能只得到不定方程，但如果考虑元的实际意义，又可对元加以不等式的限制，缩小元的取值范围，进而推导出答案。现举两例说明如下：
例：求n位幻数的个数，n位幻数指10 的n位正整数因数。
在这个问题中，n位幻数是10 的因数，也就是10 可分解为n位幻数与另一个正整数因数之积，很明显这里有两个元：幻数和另一个因数，而方程只有一个，易被认为无法继续，但注意到元的本身意义，就可加入不等式了。10 是n+1位整数，n位幻数当然是n位整数，所以另一因数是不超过10的整数，即被限制在一个较小的范围内，且取值有限，逐一尝试可得结果。
解：设n位幻数是x×10 ，其中1≤x＜10，且x是有限的。
设y＝ ，则y是正整数，此时y＝ 。
∵1≤x＜10，∴1＜y≤10
∴y的值可以是2，3，4，5，6，7，8，9，10
∵x是有限（小数）的，且x＝
∴y＝3，6，7，9不合题意，舍去
当y＝2时，x＝ ＝5，幻数为5×10
当y＝4时，x＝2.5，幻数为2.5×10
当y＝5时，x＝2，幻数为2×10
当y＝8时，x＝1.25，幻数为1.25×10
当y＝10时，x＝1，幻数为1×10
∴当n＝1时，1位幻数有5，2，1，共3个；
当n＝2时，2位幻数有50，25，20，10，共4个；
当n≥3时，n位幻数有5×10 ，2.5×10 ，2×10 ，1.25×10 ，1×10 ，共5个。
这一问题如果采用归纳猜想的方法或是比较等方法，将不利于问题解决，因为n从1增大到3时，幻数在增加，而当n≥3时，又难以确定幻数个数不变。通过设元将问题形式化，就避免了这些困难，且解题过程简洁明了。再看一例：
例：有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，求此两位数。
本例取自张奠宙《数学方法论稿》P154例8。在《论稿》上作者为了阐明简单性原则在指导解题方面的作用，列举了三种解法，均将原问题分解为子问题，并取子问题的交集。实际上如果能通过设元采用形式化原则，解决这个问题将更简单。问题中有两个条件，可列两个方程，有三个元，两个是未知自然数，另一个是两数平方差的结果；对两数的限制是两数都是两位的整数，且它们的平方差是100的倍数。经过这样的分析，问题就类似于前面所说的将问题形式化再兼顾符号本真意义的问题了。具体解法如下：
解：设这两个两位数为a，b，不妨设a＞b＞0。
由题意得a-b=56（1）a -b =100x（2），其中x是一个整数。
把（1）代入（2）得，56（a＋b）＝100x
a+b＝ x（3）
∶a＝28+ x
∶b＝-28+ x
∵a、b都是两位数，即10＜a＜100，且10＜b＜100
∴10＜28+ x＜10010＜-28+ x＜100，解得31.36＜x＜80.64
∵x是整数且a＝28+ x也是整数
∴x是28的整数倍
∴x在其取值范围内，只能取x＝56
此时a=78b=22
即这两个数分别为78和22。
这个解题过程与《论稿》上的解题过程相比较，直接省去了大量的凑符合子问题题设的数据的计算，更不会出现凑数据过程中容易漏掉某些数值的情况。
这两个例子的解题思想是一致的，通过设元将问题形式化，列出不定方程（组），再结合元的实际意义，列出不等式（组）求解。在这一过程中也涉及其他的数学思想，例如渐进性思想。逐次渐进性原则一种意义上的理解是从用缩小解的范围或区域的方法，求得正确解的过程。与渐进性原则相关的方法有淘汰排除、逼近、猜想验证、求近似解，等等。淘汰排除法常用来解选择题，在有限的可能答案中排除不正确的答案，从而得到正确的答案。但并非只有选择题才可使用淘汰法，以上两例中就使用了这样的方法。在第一个例子中y的值可能有9个，根据x是有限的排除了4个，得到5个正确的y值；在第二个例子中，x在其范围内的整数是有限个，淘汰非28倍数的值，余下的就是x的正确取值。这种情况下可以这样理解缩小范围、区域的意义：设元后，从元的意义出发，将解限制在一个较小而有限的范围内，是第一层次的缩小；然后方程与元实际意义的结合，将有限范围内不正确的解排除，则是第二层次的淘汰或说是逼近了问题的答案。再进一步分析，解题过程当然也体现了转换的思想。许多实际问题难以建立一个具体的数学模型，却总需用数学语言转换为与之等价的数学问题。变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们问题有关的元素接触的新可能性。［３］波利亚的数学解题观可以简单概括为“问题转换”，解题就是问题转换。［４］以上两个例子的解题过程就是将问题转化为求方程（组）的解与实际意义下不等式解的交集的过程。
鉴于大型考试中时常会有这样类型的问题出现，所以在解题教学中也应当适当加强这一思维方法的教学。在初中阶段，用字母代替数的思想对学生而言本身就是一难点，学生对这一思想的理解大都停留在设元列方程（组）解应用题，且能直接将元解出来的程度上，这实际上是对数学形式化的认识不够，体现在两个方面：第一，对数学符号形式的丰富思想内容不理解。每一个数学符号都代表了相应的数学抽象物，因而就具有了相应数学抽象物的思想内容，只不过这些思想内容隐藏在符号的背后，数学符号形式和它的思想内容是一个完整的整体，［５］初中学生限于认知发展的水平较难以把握隐藏在形式后的思想。第二，形式语言与自然语言存在差异，习惯的自然语言影响形式语言的形成、系统化。教学中总是用直观的、贴近生活的语言来帮助学生理解形式化材料，这被认为是通往严格的桥梁，却难以解决形式化层次较高的问题。所以许多新教材取消了用字母代替数的部分内容，而穿插于其他知识中，就是考虑到学生在初一难以理解这一思想的缘故。对学生进行一些形式化层次稍高的问题训练，特别是代数中就应当以纯形式化的方式进行，这样才能提高学生对数学形式化原则的认识，也就利于解决其他问题。
参考文献：
［1］章士藻.中学数学教育学.江苏教育出版社，1996.
［2］张奠宙.数学方法论稿.上海教育出版社，1996.
［3］G•波利亚.怎样解题.中华书局，1948.
［4］张雄.数学方法论与解题研究.高等教育出版社，2003.
［5］涂荣豹.数学认识论.南京师范大学出版社，2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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