【数形结合在中学数学中的应用�】数形结合思想在中学数学中的应用

时间：2020-03-02 07:31:54　来源：雅意学习网本文已影响人

　　 � 　　数形结合思想在中学数学中有着重要的作用，数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。下面我结合函数，含参数方程，不等式等问题的解决来探讨数形结合思想在中学数学中的应用。�
　　一、数形结合思想在中学数学中的地位与应用
　　美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”这就表明解题时若能挖掘问题的几何意义配以适当的图形，就有利于分析题中数量之间的关系，丰富想象，拓展思路，化繁为简，化难为易，迅速找出解决问题的方法，提高分析和解决问题的能力。�
　　二、数形结合思想在中学数学解题中的应用举例
　　1�数形结合思想与参数方程、不等式的关系问题�
　　例1：讨论关于�x�的方程�x�2-2|x|�-3=�a（a�∈R）的实数解的个数。�
　　解法一：（常规思路）因为方程中含有绝对值，所以分�x≥0和x�＜0来求解。方程比较复杂，对于大多数高中生而言是比较困难的。�
　　解法二：（数形结合思想）把等号两边分别看成2个函数，即令�f（x）= x�2-2|x|-3 ，g（x）=a作出f（x）�的图象，函数�g（x）�是与�y�轴垂直的直线。观察图形可知：�a�＜-4时，两图形无交点，即原方程无解。�a�=-4时，两图形有两个交点，即原方程有两个解。-4＜�a�＜-3时，两图形有四个交点，即原方程有四个解。�a�=-3 时，两图形有三个交点，即原方程有三个解。�a�＞-3时，两图形有两个交点，即原方程有两个解。�
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　　结果表明：用常规的解题思想很难下手，可以说根本就没办法做出，而用数形结合思想则可以很准确地得出答案，思路明确。�
　　在参数方程中，我们还会遇到已知参数方程的解求参数的问题。我们同样可以利用例1的方法，如例1就可以转化为此类题型，由参数方程解的个数即为函数��f（x）�和g（x）图象的交点个数，结合图形就可求出参数a�的取值范围。�
　　结果表明：用解法一这种常规思路来解答此类题比较复杂，容易出错。而用数形结合的思想方法来分析、解决此类问题是比较方便、简捷、一目了然的。�
　　2�数形结合与不等式的解�
　　例2：设�f（x）=|2x+1|-|x-4|，解不等式f（x）＞2。��
　　解法：（数形结合思想）作出函数�f（x）=|2x+1|-|x-4|�的图象如图，它与�y�=2的交点为（-7，2），（5/3，2）所以它的解集为�x＞5/3或x�＜-7。�
　　结果表明：数形结合思想可以较快地把题解出。�
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　　例3：不等式的证明：已知�a,b,c,d∈R,m=a�2+b�2+c�2+d�2�,�n=(a－c)�2+(b－d)�2，求证：m≥n�。�
　　证明：�m=a�2+b�2+c�2+d�2=(a－0)�2+(b－0)�2+(c－0)�2+(d－0)�2，n=(a－c)�2+(b－d)�2，在直角坐标系中，设P(a,b),C(c,d),O(0,0)，由下图可知，m=PO+CO≥n=PC(三角形两边之和大于第三边，当O点在线段PC上取等号)。�
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　　3�数形结合思想与最值、值域问题�
　　例4：实数x，y满足等式（x-3）�2+y�2=3，求y/x的最大值。�
　　解法：（数形结合思想）可观察y/x的结构即为过点（x,y）与点（0,0）的直线的斜率k，而过点（0，0）的直线与圆相切时k最大。如图所示：�
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　　设直线方程为y=kx，则d=�3k/k�2+1�=3，所以k=2/2（取k＞0），所以y/x的最大值为2/2�。�
　　结果表明：用常规思路代入法去考虑问题，结果好难，做不下去，而用数形结合思想，则比较简单明了。�
　　在数学解题中，方法至关重要，这对于节省时间，提高效率，锻炼能力有重要的作用。运用数形结合的思想解题，能产生较好的效果。所以我们得在数学中提炼、渗透数形结合的思想方法，充分发挥数形结合思想在教学中的功能，达到提高学生的数学素质，提高学生分析问题、解决问题的能力。
　　

【数形结合在中学数学中的应用�】数形结合思想在中学数学中的应用

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