椭圆的一个性质的简证_椭圆的性质
时间：2020-03-01 07:35:18 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：圆锥曲线有关性质因其涉及众多数学知识而使得在有关圆锥曲线的性质证明时思路广阔. 本文在学习椭圆的一个性质的证明的基础上，运用椭圆的参数方程给出一种更加简洁的证法.
关键词：椭圆性质；参数方程；简证
肖道涌作者在2010年《数学教学通讯（教师版）》第12期上发表的《椭圆的一个性质》一文中给出了椭圆的一个性质的证明，其证明方法过于繁杂，笔者经过深入思考给出性质的简证：
性质：已知椭圆方程为+=1（a>b>0），P（m，n）不在椭圆上，椭圆长轴的两个端点为A1（-a，0），A2（a，0），设PA1与椭圆的另一个交点为C1，PA2与椭圆的另一个交点为C2，则直线C1C2与x轴的交点Q为，0.
简证：设C1（acosα，bsinα），C2（acosβ，bsinβ）. 由P（m，n），A1（－a，0），A2（a，0）可得直线PA1的方程为y=（x+a），直线PA2的方程为y=（x－a）.
因为C1，C2分别在直线PA1，PA2上，所以bsinα=（acosα+a），即2bsin•cos=2acos2－a+a，整理得tan=. 类似地，tan=.于是，tantan=.（1）
由C1，C2的坐标得直线C1C2的方程为y－bsinα=•（x－acosα）. 令y=0，得x=a=a=a=a. （2）
把（1）式代入（2）式易得x=.
斜率不存在的情况可以验证结论仍然成立.
说明：运用椭圆的参数方程形式可使变量相对减少，达到方便计算的目的.
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