基于古典数理逻辑算法的命题逻辑应用研究|数理逻辑之 命题逻辑完备性
时间：2019-05-12 03:21:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的一门科学，也是用数学方法研究推理的科学。所谓数学方法，是指引进一套符合体系的方法，所以数理逻辑也叫符号逻辑。现代数理逻辑有四大分支：证明论、模型论、递归论和公理化集合论。本文主要应用数理逻辑中命题演算应用算法来解决命题逻辑应用问题。
【关键词】数理逻辑；算法
一、古典数理逻辑
逻辑是研究推理的科学，它分为形式逻辑和辩证逻辑。数理逻辑用数学方法研究形式逻辑，它是用数学方法研究推理的科学。而数学方法，则是引进一套数学符号体系来研究推理，所以数理逻辑也叫符号逻辑。现代数理逻辑有四大分支：证明论、模型论、递归论和公理化集合论。命题演算是所谓的古典数理逻辑之一。
1.命题演算
命题：判断结果惟一的陈述句。命题的真值是判断的结果，真或假。真命题则是真值为真的命题。
假命题：即真值为假的命题。注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题。
陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是。命题分为：简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题。简单命题的符号化：用p，q，r，…，pi，qi，ri(i≥1)表示，用“1”表示真，用“0”表示假。复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的陈述句。例如：如果明天天气好，我们就出去郊游。设p：明天天气好，q：我们出去郊游，如果p，则q。联结词与复合命题：?称否定联结词，∧称合取联结词，∨称析取联结词，→蕴涵联结词，?称等价联结词?。
联结词优先级：( )，?，∧，∨，→，?，同级按从左到右的顺序进行。
命题常项：简单命题。命题变项：取值0(真)或1(假)的变元，真值表：命题公式在所有可能的赋值下的取值的列表，含n个变项的公式有2n个赋值，
2.命题演算的研究对象：重言式，矛盾式，偶然式
重言式(永真式)：无成假赋值的命题公式
矛盾式(永假式)：无成真赋值的命题公式
可满足式：非矛盾式的命题公式
注意：重言式是可满足式，但反之不真.
3.命题演算的科学性依据：恒等式和永真蕴含，推理规则和证明方法
若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作
A?B，并称A?B是等值式
设S是一个联结词集合，如果任何n(n≥1)元真值
函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集
4.命题命题演算的扩充和归约：范式和主析取范式
主析取范式：由极小项构成的析取范式
主合取范式：由极大项构成的合取范式
任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是惟一的。
二、命题逻辑思想与应用
主析取范式是命题逻辑思想解决问题的重要途径。
1.求主析取范式的步骤
设公式A含命题变项p1，p2，…，pn，
(1)求A的析取范式A′=B1∨ B2∨ … ∨ Bs，其中Bj是简单合取式 j=1，2，…，s
(2)若某个Bj既不含pi，又不含?pi，则将Bj展开成：
Bj ? Bj∧(pi∨?pi) ? (Bj∧pi)∨(Bj∧?pi)
重复这个过程，直到所有简单合取式都是长度为n的极小项为止。
(3)消去重复出现的极小项，即用mi代替mi∨mi。
(4)将极小项按下标从小到大排列。
2.主析取范式的用途
(1)求公式的成真赋值和成假赋值
设公式A含n个命题变项，A的主析取范式有s个极小项，则A有s个成真赋值，它们是极小项下标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
如：?(p→q)?∨r ? m0∨ m2∨ m4 ∨m5 ∨ m6
成真赋值：000，010，100，101，110；成假赋值：001，011，111 。
(2)判断公式的类型
设A含n个命题变项，则：
A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项
A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，记作0
A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。
如：
C? ?(p∨q)∨r ? (?p?∧q)∨r
?(?p?∧q∧r)∨(?p?∧q?∧r)∨(?p?∧q∧r)∨(?p∧q∧r)∨(p?∧q∧r)∨(p∧q∧r)
? m0∨m1∨m3∨ m5∨m7
(3)判断两个公式是否等值
用主析取范式判断下面公式是否等值：
如某单位要从A，B，C三人中选派若干人出国考察，需满足下述条件：
a、若A去，则C必须去；
b、若B去，则C不能去；
c、A和B必须去一人且只能去一人.
问有几种可能的选派方案?
解决方法为：
记p：派A去，q：派B去，r：派C去
a：p→r b：q?→r c：(p?∧q)∨(?p∧q)
问题转化为求下式的成真赋值
A=(p→r)∧(q?→r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))
利用求A的主析取范式
A=(p→r)∧(q?→r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))
?(?p∨r)∧(?q?∨r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))
?((?p?∧q)∨(?p?∧r)∨(r?∧q)∨(r?∧r))
∧((p?∧q)∨(?p∧q))
?((?p?∧q)∧(p?∧q))∨((?p?∧r)∧(p?∧q))
∨((r?∧q)∧(p?∧q))∨((?p?∧q)∧(?p∧q))
∨((?p?∧r)∧(?p∧q))∨((r?∧q)∧(?p∧q))
?(p?∧q∧r)∨(?p∧q?∧r)
成真赋值：101，010。结论：方案1 派A与C去，方案2 派B去
三、结论
数理逻辑是逻辑学重要部分，它将逻辑语言数学符号化，从而利用数学思想解决逻辑问题，加上数理逻辑与计算机算法的结合，受到广大科研工作者的偏爱，长期以来，数理逻辑也成为数学学者研究解决实际问题的重要部分。从命题理论角度分析实际问题，把理论和实际应用结合起来，提高解决实际问题能力，是数学建模的重要思想。
