重复抽样的样本容量【对产品样本容量的确定及模拟抽样的方法探讨】
时间：2019-03-29 03:16:56 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要： 在一定精度的要求下，对产品合格率试验中样本容量的计算应用参数估计中的贝叶斯方法进行研究，并对贝叶斯估计方法与矩估计法作一比较，目的是为了减少用作实验的样本容量，并介绍如何使用利用计算机模拟实验抽样检验，确定样本容量的方法。
Abstract: In the requirements for certain accuracy, Bayesian method of computing application parameter estimation of sample size in product qualified rate test is studied, and Bayesian method and moment estimation method is compared, so as to reduce sample size used for experiment. How to determine the sample size using sampling inspection of computer simulation experiment is introduced.
关键词： 样本容量；参数估计；贝叶斯方法；矩估计；计算机模拟实验
Key words: sample size；parameter estimation；Bayesian methods；moment estimation；computer simulation experiment
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）20-0242-02
在抽样设计中，样本容量的选择是一个重要的问题，通常最好的选择是对经费和精度进行权衡。较大的样本可以提供较高的精度（允许误差较小），但费用较多。通常，研究的预算将决定样本容量的大小。对其他情况，样本容量应该选取足够大来满足规定的精度水平。在某种新产品的合格率试验中，由于这种实验是破坏性的，我们不可能把每一件产品都做实验以检验其是否合格。另外由于实验代价过高，要求在抽取最少数目的产品用来试验以达到满意的效果，因而样本容量的选取显得很重要。
随机的抽取n件产品进行检查，X为废品数，X服从二项分布：
P（X=x｜?兹）=C■■?兹■（1-?兹）■，x=1，2，…，n，0?燮?兹?燮1
由于X服从二项分布，若能精确估计出参数?兹，则根据德莫佛—拉普拉斯定理中心极限定理有：当n→∞时，一致的有
Pa?燮■＜b=■■e■dx
由积分极限定理得
P■-?兹＜?着
=P-?着■＜■＜?着■
=?椎?着■-?椎-?着■
=2?椎?着■-1
要使■与?兹的差异不小于给定数?着的概率且不小于给定的?茁＞0（un是频数），需找出如下的最小的n，满足
2?椎?着■-1?叟?茁（1）
在参数估计中，由于矩估计量在相当广泛的条件下是相应参数的相和估计，且简单易行，但是矩估计量没有充分利用已知参数族所提供的信息，在小样本场合下没有突出的性质，而在一般的场合下矩估计不具有唯一性；极大似然估计虽然具有很好的大样本性质，但它不一定具有无偏性。由于矩估计和极大似然估计计量的优点与我们所要求的（抽取最少的数目的产品用来试验以达到满意的效果）相矛盾，故不能用来估计参数。
下面利用贝叶斯方法来估计废品率?兹。
（1）若没有足够的先验信息来确定?兹的先验分布，则利用贝叶斯假设，认为服从[0，1]上的均匀分布。由此得二次损失下的贝叶斯估计为
■=■
（2）选择先验分布为
?仔（?兹）=■?兹a-1（1-?兹）b-1，0?燮?兹?燮1，a＞b，b＞0
由先验信息中能够准确地算出?兹的先验平均■和先验方差S■■，令其分别等于Г（a+b）的均值和方差：
■＝■，■=S■■，?圯a=■-■，b=■
在二次损失下贝叶斯估计为
■B=■?兹?仔（?兹｜x）d?兹=■
一般情况下，有新产品的特殊性，想得到的先验信息是很有限的，因此通常选取均匀分布作为先验分布，只有经过一次利用第一种方法，有了一定的先验信息，才能利用第二种方法，经过先验信息的一定积累，反复利用第二种方法就可对参数作比较准确的估计，但反复使用第二种方法会使得n不断增大，这与实验所要掌握的原则相违背，因此，利用以下准则可尽可能的减少所需样本的数目。
根据未知参数估计的相结合性和有效性的定义，且根据二项分布参数的矩法估计相结合及其优点，我们选用矩法估计■1作为?兹的近似值来检验■B的有效性。若经过m步迭代所得的■B和■1满足或近似满足：D（■B）?燮D（■1）则认为■B是?兹令人满意的估计值。
因为D（■B）?燮D（■1），■B较■1有效，根据（1）式得
?椎?着■?叟■
记f（?兹）=■，当?兹?叟■时，函数f随?兹单调增加；当?兹＜■时，函数f随?兹单调减少。由于■B较■1有效，■B作为?兹的估计值代入（1）式所得的nmin比■1所得的nmin与实际所需的nmin的误差要小，更为精确。
利用贝叶斯方法来估计废品率?兹进而计算nmin的原理简单可行，精度高，但也有计算量大的缺点，在当今计算机应用广泛的条件下完全是可以克服的，相比之下它的优点是很显著的，有很高的经济价值和应用价值。随着计算机的发展，人们首先想到了用计算机模拟实验。计算机模拟也叫蒙特卡罗（Monte Carlo）方法。该方法研究在计算机上产生具有各种概率分布的伪随机数，通过构造随机模型，使得某个随机变量的数学期望等于问题中要求的解，从而解出估计值。用计算机模拟抽样的方法很多，下面介绍一种最基本最简单对离散型随机变量与连续型随机变量都适用的方法，即求逆法，也叫反函数法。
