二项分布公式的理解 [二项分布的Ｂａｙｅｓ解风险分析]
时间：2019-02-12 03:23:32 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：文章先介绍了不同损失函数下的Bayes解，然后以二项分布作为具体应用问题，从Bayes风险的角度，对不同的损失函数下所得的Bayes解进行了比较，探讨了各类Bayes解的优良性。
关键词：二项分布 损失函数 Bayes解 Bayes风险
引言
假定样本x′=(x ，x ，…，x )的联合密度是p(x ，x ，…，x ；θ)，简写成p(x|θ)，其中θ是参数。从贝叶斯观点看来，参数估计问题就是要寻找随机向量x的函数δ(x)，使它尽可能“接近”随机变量θ。为选择最好估计量，人们建立了诸如损失函数、风险函数等标准，进而求出Bayes解。由于先验分布的选取不同，即使是同样损失函数情况下，得到的Bayes解也不同。文献［１］和［２］探讨了在不同先验分布的选取下，Bayes风险情况。由于共轭分布有不少优点，在实际工作中我们往往选取共轭分布作为先验分布来求Bayes解，因此探讨在不同损失函数下Bayes解的Bayes风险就成为必要。文献［３］分析了基于不同损失函数下Bayes解优劣，没有从Bayes风险的角度去分析。本文我们以二项分布作为具体应用问题，应用Bayes风险分析在不同损失函数下Bayes解的优劣情况。当然，在选择先验分布时，我们主要是根据雷发(Raiffa・H)和施莱弗(Schlaifer・R)在文献［４］中提出的共轭分布原则，为以下行文方便，先给出若干预备知识。
1 几类常见的损失函数下的Bayes解
此时的风险函数，由式（2）可得
从式（16）可以看出，对同一概型根据不同的损失函数，即使选用同类的先验分布，也会得到不同的Bayes决策。从表面上来看，选取相对差损失函数给出的二项分布参数p的Bayes估计（即Bayes解）是估计类中最保守(小)的一个。然而，它是不是最合理、最好的一个呢?从Bayes风险的角度看，由式（17）可知，选取平方损失函数给出的条件期望估计是二项分布参数p的Bayes风险最小的估计，是比其他两类更合理的一个估计。
参考文献：
［1］陈宜辉，姜礼平，吴树和.无信息先验下几种不同Bayes估计的比较［J］.海军工程大学学报，2001.13，(5)：97-99.
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［4］张尧庭，陈汉峰.贝叶斯统计推断［M］.北京：科学出版社，1991.
［5］范金城，吴可法.刘凤林.统计推断导引［M］.北京：科学出版社，2001.
［6］茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计［M］.北京：高等教育出版社，1998.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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