几种计算微带线特性阻抗的方法_微带线特性阻抗
时间：2019-02-09 03:13:24 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文从不同的计算思路和计算方法出发，介绍了几种计算微带线特性阻抗的方法，并对几种方法的特点进行了比较，为解决此类问题提供了一些方法的选择。 关键词： 微带线 特性阻抗 差分法 有限元法
1.前言
微带集成电路具有重量轻、体积小、频带宽、可靠性高、省电、低成本和长寿命等优点。在现代电子设备中得到广泛应用。微带线作为微带集成电路的主要部分，其设计和特性参数的计算受到广泛关注［１］。在设计微带器件时经常遇到计算微带线的特性阻抗的问题，目前分析微带线特性阻抗的方法很多，比如差分法、有限元法、保角变换法、格林函数法，等等［３］，本文以差分法和有限元法为基础介绍几种计算微带线特性阻抗的方法。
2.基本原理
微带线上传播的电磁波可近似看成TEM波，于是它的特性阻抗就能用下面的公式计算：
Z==（1）
式中C、L分别为微带线单位长度的电容和电感，v为波在微带线上的传播速度。如假定微带线上不存在介质时单位长度的电容为C，这时线的电感L将不会因为电介质的存在与否而改变。又因介质不存在时线上波的传播速度为光速v，而且
v=（2）
由（2）式可解出L为：L= （3）
将L值代入（1）式即可求出微带线的特性阻抗Z为：Z=
（4）
由（4）式可见，求微带线特性阻抗的关键在于求出介质存在和不存在时，微带线上单位长度的电容C和C。［３］根据计算思路，求这些电容的思路有：由微带线上的电位分布求解；由微带线单位长度的总电量推导出；由储藏在微带线上电场内的能量而推导出，等等。根据计算方法，求这些电容可以用差分法，也可以用有限元法。以下我就介绍几种常用的方法。
3.几种计算方法
①先用有限元法（FEM）求微带线切面上的电位分布，再根据电位分布求出单位长度的微带线上的电容，进而求出微带线的特性阻抗。
假设微带线介质基片的厚度为h，相对介电常数为ε，导带的宽度为W，厚度为t，微带线的电位分布满足拉普拉斯方程：+=0 u|=u（5）
其中L是场域s的边界。
将场域s剖分为许多三角形单元，考虑场域s中任意一个单元e，假设其三个节点分别为i（x，y），j（x，y），m（x，y），如（图一）所示；三个节点的电位分u别为u，u，u，则三角形单元e内任意一点的电位u可以表示为三个节点电位值的线性插值，即：
u（x，y）=［N］［u］（6）
其中：［N］=［N，N，N］
（6）式中［N］是形状函数，T表示矩阵的转置，对于三角形单元，形状函数［N］为：
N=（a+bx+cy）
N=（a+bx+cy）（7）
N=（a+bx+cy）
其中Δe为第e个三角形单元的面积，Δe=1 x y1 x y1 x y=（bc-bc）。
a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
对拉普拉斯方程进行伽辽金有限元分析：在（5）式两边同时乘以［N］，并对三角形单元区域Δe进行面积积分得：
［N］（+）dxdy=0（8）
对（8）式进行部分积分，并将（6）式代入得：
（ ）+ ）［u］dxdy-［N］dL=0
（9）
（9）式左边第二项积分是对三角形单元Δe的边界L进行的，n表示边界的外法向。
（9）式是对区域s 中任意一个单元Δe进行的，对于整个区域则应对所有的单元叠加得到：
+ ）［u］dxdy-［N］dL=0（10）
对于方程式（10）左边进行第二次积分时要注意，要分清是内单元还是边界上的单元，对于内部单元，由于相邻两个单元之间的平衡关系，各单元边界积分值叠加为零，所以只有在整个求解域的外边界L上，这一项才须计算，故（10）式可以写成：
+ ）［u］dxdy-［N］［u］CdL=0（11）
其中表示对所有边界上的单元求和。
（7）式代入（11）式，最后可得：［k］［u］=0（12）
其中［k］称为三角形单元的总系数矩阵，解方程（12）即可以求得所需的电位值，进而求得微带线单位长度电容，代入公式（4）即可求得微带线的特性阻抗。［２］
②先用差分法求出单位长度微带线上的总电荷量Q，再根据C=求出微带线的单位长度电容，进而求出微带线的特性阻抗。
为求这个Q值，取一个如（图二）所示的任意的包围内导体的环路abcd。这个环路的每个边均通过网格节点的中心并平行于坐标轴，其中一个边上任意点p处的电通量法向分量D 应等于：
D=εE=-ε（13）
而D 可用p处相邻的网格节点e、f处的电位u、u表示（如图三），于是可得：
D=-ε=-ε（14）
取长度为单位长度并将D对整个面积积分，根据高斯定律，它应等于内导体表面上单位长度的电荷Q，即
?蒽・dS=Q（15）
因为要求的是静电电容，线内电场将不随z坐标改变。在考虑到线上不存在纵向电场，也就没有电通量穿过前后两个面，这时上面的积分就可写成：
设环路abcd的四边每边包括n个节点，m=1，2，3，4，而（16）式右边的线积分可分成对四个边的积分，再对每个边的积分利用梯形数值积分法求积，便可得到求Q的公式：
Q=h′εε（）（17）
式中ε代表节点p处的相对介电常数，符号∑′表示和的第一项和第末项应乘以。
如此便可求得电容C：C=（18）
根据（18）式，求出介质存在和不存在时，微带线上单位长度的电容C和C，代入（4）式即可求出微带线的特性阻抗。
③先用差分法（FDM）求出微带线切面上的电位分布，根据电位分布求出电场分布，然后可以根据电场分布求出微带线上单位长度储藏的电能W，由C=可求出微带线的单位电容，进而就可求出微带线的特性阻抗。
求出微带线上单位长度储藏的电能W后，要求的电容C可按下式得到（设线内、外导体间电位差u为1V）：
C==2W=?蘩?蘩?蘩ε|E|dV=?蘩?蘩?蘩ε|E| dSdz
=?蘩?蘩ε|E|ds=?蘩?蘩ε（|E|+|E|）dS（19）
上式中利用了电场E不是z的函数关系，对S的面积分是在线的横截面上进行的。
先求S面上在如图四所示的由四个网格节点（i，j），（i，j+1），（i+1，j），（i+1，j+1）形成的区域对（19）式积分的贡献。在这个区域，E、E的值可用上述节点的电位差分求得：
E=-［+］=-［u-u+u-u］
（20）
E=-［+］=-［u-u+u-u］
（21）
如果令ΔW代表这个区域的电场储能，则ΔW=εε（|E|+|E|）h（22）
将（20）、（21）式代入（22）式，即可得：
ΔW=［（u-u）+（u-u）］（23）
在整个区域内储藏的电能W就应该是各个小区域储能的和，即可以用下面的式子来表示：
W=ΔW（24）
其中i、j分别为场域中网格坐标i、j的最大值。
将（24）式代入（19）式即可求得电容C，然后利用（4）式即可求出微带线的特性主抗。［３］
4.结语
有限差分法是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，并以泰勒级数展开等方法，把方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。差分法是电磁场计算机数值模拟最早采用的方法，是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。而有限元法用于电磁学领域还是二十世纪六七十年代的事情，它比较新颖。有限元法的优点是适用于具有复杂边界形状或边界条件、含有复杂媒质的定解问题。这种方法的各个环节可以实现标准化，得到通用的计算程序，而且有较高的计算精度。但是这种方法的计算程序复杂冗长，由于他是区域性解法，分割的元素数和节点数较多，导致需要的初始数据复杂繁多，最终得到的方程组的元数很大，这使得计算时间长，而且对计算机本身的存储也提出了要求。文中介绍的三种计算微带线特性阻抗的方法各有特点，但其计算结果一致，在应用中可根据需要选择合适的方法。［３］［４］［５］
参考文献：
［1］姚斌，杨春柳，胡开元，唐继华.假想边界法在开放式微带线特性阻抗计算中的应用［J］.文山学院学报，2003，23（1）：117-120.
［2］周平.微带线特性阻抗的有限元分析［J］.淮阴工业专科学校学报，1995，4（2）：1-4.
［3］曹世昌.电磁场的数值计算和微波的计算机辅助设计［M］.北京:电子工业出版社，1989：40.
［4］胡来平，刘占军. 电磁学计算方法的比较［J］.现代电子技术，2003，153（10）：77-78.
［5］李国生.有限差分法求解静电场问题［J］.电气电子教学学报，2005，27（5）：50-52.
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