“三变”有何难,神奇变平凡 化平凡为神奇教案
时间：2019-02-08 03:23:21 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 三角函数中的“三变”指的是“变角、变次、变姓”．文章对有关典型高考试题进行剖析和解答，引导解题者用心来体验、感悟一些所谓的“高超技巧”是如何实现“熟路驾轻车，别扭变自然”的．文章从对三种变形的分析中还指出解题者应优化解题心态，尤其是要达到良好心理状态，在积累经验的基础上提升自己，树立先进的解题理念．这些对于学生从根本上提高数学学习水平、增强解决问题的能力、优化数学素养都具有非凡的意义．
关键词： 三角函数变角 变次 变姓
数学被誉为“创造的科学”，一些具有创造性的所谓“高超技巧”令人感到扑朔迷离、眼花缭乱、神奇莫测、高不可攀.就说三角函数中的恒等变换技巧――“三变”吧，别出心裁的奇思妙想使人觉得不可思议、难以驾驭.而事实如何呢？有诗为证：
三变有何难，奥秘来体验.创造本平凡，神奇亦简单.
只要基础实，不变应万变.心胸眼界宽，我也能看穿.
三角函数中的“三变”指的是“变角、变次、变姓”.本文通过一些典型高考试题的剖析和解答，用心来体验、感悟一些所谓的“高超技巧”是如何在我们手中实现“熟路驾轻车，别扭变自然”的.
1.变角
7°、15°、8°三个角之间有什么玄机？7°=15°-8°，一道极其简单的算术题.再如β=α-（α-β）、2α=（α+β）+（α-β）、β=（-）+（+），等等.在三角函数变换中被称为“变角”，实属“貌不惊人”的“雕虫小技”，但在解答相关问题中却可以出奇制胜.
例1（1997年全国试题）求式子的值.
解析：运用上面所说的技巧，立即奏效.
原式=
==tan15°=tan（45°-30°）=…=2-
三变两化，好像“玩魔术”一样，竟求得了一个陌生式子的准确值.“外行看热闹，内行看门道”，魔术师以掩盖真相为奇，我们却反其道而行之，以揭露真相为乐.
例2（1992年全国试题）设＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，求sin2α.
解析：若看穿2α=（α+β）+（α-β）这个简单奥秘，则此题实为“小菜一碟”，否则依靠硬闯蛮干，不能奏效.由已知，求得cos（α+β）=-，sin（α-β）=，则sin2α=sin［（α-β）+（α+β）］=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=…=-.
另外，asinx+bcosx=sin（x+φ）是“变角”的又一常用模式，其中的φ被称为辅助角.首次应用时，无不啧啧称奇，但当熟能生巧后，便感到得心应手、左右逢源.
2.变次
将高次变为低次，或将低次变为高次，这是代数中的常用技巧，鼓舞人心的是此技巧在三角变换中也可大显身手.
例3（2009年湖北试题）“sinα=”是“cos2α=”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
解析：cos2α与sinα之间有一根纽带联系着，即cos2α=1-2sinα，一次变为二次，同时还出现了“变角”.由cos2α=1-2sinα=可解得sinα=±；反过来由sinα=可推得cos2α=，故选A.有了充要条件的参与，题目设计得更精彩.
例4（2008年广东试题）设f（x）=（1+cos2x）sinx（x∈R），则函数f（x）是（）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
解析：例3中的次数是“低变高”，属于升幂；别忘记，还有次数“高变低”，属于降幂.
因为f（x）=2cosxsinx=sin2x=（1-cos4x），所以选D.
先升幂，后降幂，有升有降，多彩多姿.
3.变姓
三角函数有正弦、余弦，简称“弦”，还有正切、余切，简称“切”，“弦切互化”则是三角函数常用的技巧，故称为“变姓”.
例5（2009年辽宁试题）已知tanθ=2，则sinθ+sinθcosθ-2cosθ的值为（）
A.- B. C.- D.
解析：典型的“弦化切”的“变名”技巧.
sinθ+sinθcosθ-2cosθ=
==…=.
例6（1988年全国试题）已知sinθ=-，且3π＜θ＜，求tan.
解析：已知“弦”的值，欲求“切”的值，当然须“切化弦”，还要加上降幂.二十几年前的这道试题，要求还是相当高的，现在的要求降低了吗？请看下面一例.
例7（2009年全国试题）若＜x＜，则函数y=tan2xtanx的最大值为?摇?摇?摇?摇.
解析：又是2x，又是三次方，很棘手.“切化弦”后，再看：
y=tanx=.由已知，得tanx＞1，y＜0.
通过换元，令tanx=t，则y=，三角函数变成了代数函数，这也是一种“变姓名”.
对于这类代数函数，应该说我们是比较熟悉的，y==，则由∈（0，1），得（-）-的最小值为-，故原函数的最大值为-8.
换元、二次函数等，大大拓宽了我们的视野和知识面，使我们喜获丰收.
三角函数中的“三变”是如此，数学中的其他所有技巧不都是如此吗？具有了这样的理念，优化了我们的心态，一切都变得简单了.行文至此，感慨良多，解答数学题的具体技巧、题目难度的大小已变得不十分重要了，更重要的是科学发展观、先进的解题指导思想和良好的心理状态.若达到了这样的高境界，对于从根本上提高数学学习水平、解决问题的能力、优化数学素养都具有非凡的意义.
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