[构造辅助元素在数学中的应用] 构造辅助函数在数学解题中的应
时间：2018-12-23 19:52:27 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：构造辅助元素是构造思想中一个很重要的分支，用此方法解题，巧妙新颖，简捷独到，有利于培养创新能力和数学素质。构造辅助元素可整理为构造方程、构造函数、构造几何图形等十一类，在数学领域中有广泛的应用。
关键词：构造辅助元素 数学 应用
构造思想是一种很重要的数学思想，它是以问题的已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系为“支架”，在思维中构建一种新的“构造物”，从而使问题变得简单易解的解题思想。其关键是根据题设条件和结论的特征适当地构建新的“构造物”，而这“构造物”的表现形式是多种多样的：有的是沟通问题条件和结论的“辅助元素”；有的是问题的“结论”所叙述的数学对象；有的是从否定问题的结论出发，而出现的“矛盾”；有的是符合问题的条件，但不符合其结论的“反例”。其中，以沟通题目条件和结论为目的的构造辅助元素的应用最为广泛，且其构造独特、方式比较多，在许多数学问题的解题过程中显示着令人瞩目的特殊作用。
所谓构造辅助元素就是适当增加辅助条件，以此为中介，架起一座连接问题的条件和结论的桥梁，从而使问题得到解决。数学中列方程解应用题、几何中添置辅助线等实际上应用了此方法。构造辅助元素的过程模式是：
通过构造辅助元素求解问题的方式常见的有构造方程、构造函数、构造几何变换等。下面我们将结合一些数学题目分别给予讨论。
一、构造方程
方程是解决数学问题的重要工具。在解题时，我们可通过对题意的分析，构造出方程，应用其理论达到解决问题的目的，方程可以是一元的，也可以是多元的，还可以是方程组。
例1 已知b=- - c(a≠0,b≠0)。求证：b ≥4ac。
分析：本题乍看起来无从下手，由题中待证式b ≥4ac的外形结构联想到Δ=b -4ac≥0，再构造一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0，b≠0),证题途径便初显端倪。
以方程作为联想出发点进行构造，常见的有下面几种方式：
（1）方程的根与系数的关系（韦达定理）；
（2）一元二次方程的判别式Δ=b -4ac；
（3）方程组的解的结构关系，特别是适当地选择自由未知量作为基本量，把其他未知量用基本量表示。
二、构造函数
如果借助函数的有关性质有利于分析原始问题时，则可根据题意构造出相应的函数，从而转化问题、解决问题。构造函数是构造辅助元素中比较抽象的构造性思维，应用时除了要对问题条件的特点分析之外，还要求熟悉典型的函数及其特点。
中联赛试题）
分析：已知的两个等式中既含有代数式x 和y ，又含有三角函数式sinx和sinycosy，因此要想将x与y解出很困难。仔细分析发现，通过a可以将x、y联系在一起，由题设消去a，得x +sinx=(-2y) +sin(-2y)，此式的两边具有相同的表现形式，所以，可构造函数f(t)=t +sint。
解：设函数f(t)=t +sint,易知f(t)在[- ， ]上是严格递增函数，又由题设消去a得到x +sinx=(-2y) +sin(-2y),即f(x)=f(-2y)。
由单调函数性质知：x=-2y，这样x+2y=0，所以cos(x+2y)=1。
三、构造几何图形
当题设中的数量关系有比较明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相联结时，则可以根据已知条件构造出符合要求的特殊或一般图形，从而直观、快速地解决问题。
例3已知a、b、c、m、n、p均为正数，且满足a+m=b+n=c+p=k。求证：an+bp+cm＜k 。（第21届江苏数学竞赛试题）
分析：根据“a+m=b+n=c+p=k”的信息特征，构造出以k为边长的正三角形，并借助面积公式和图形的性质布列出不等式，使问题获得巧妙解决。
证明：构造边长为k的正三角形ABC，在边AB、BC、AC上分别截取一点D、E、F，使AD=a，BD=m，BE=c，EC=p，
构造几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系而得到的解析几何图形，我们常应用的数形结合思想中代数问题通过构图转化为几何问题的方式也可视为构造几何图形内容。
四、构造几何变换
如果几何问题的已知条件和结论比较分散，此时可通过反射、旋转、平移、相似等几何变换，将其中某些部分移到新的位置，使原来联系不密切的图形聚集在一起产生联系，从而使问题解决。
例4 △ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，D为斜边BC上任一点，求证： 。
分析：这是平方和的问题，我们发现AD、BD、CD比较分散，彼此关系不明显。我们可使AD、BD、CD归于某一个三角形中。
证明：将△ABD绕着点A逆时针旋转90°，则点B落在点C，点D落在点E。连结AE、CE、DE。
易知CE=BD，AE=AD，∠ACE=∠B，
则△ADE为直角三角形，
五、构造方差
六、构造向量
向量的内积在数学中有广泛的应用。根据题目所给的条件和结论，构造向量，并利用向量内积去证明，方法简单易行。
七、构造数列
由已知条件分析，若其某些特征与数列的通项、求和、中项等公式相似时，可构造相应的数列求解。另外，在研究某些数列问题时，如果仅仅对原数列周旋，问题会孤立无援，但适当地构造一个新数列，通过新旧数列之间的关系，问题就会得解。
分析：由已知数列构造新的数列，在高考试卷里经常出现，这里将两数列相除，构造两个新数列，利用比较原理进行证明。
八、构造错排模式
错排问题：n个数，分别为1，2，3，…，n,排成一个长度为n的排列。若每一个数的位置都与数的本身不相等，则称这个排列是一个错排。例如，n=3，则错排有231，312。
设f(n)是n个数的错排个数，则f(1)=0，f(2)=1，
f(n)=(n-1)・f(n-1)+(n-1)・f(n-2)(n＞2)。
例8 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后，每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（1993年全国高考实验卷）。
解：将四张贺年卡分别编号为1，2，3，4。四人视为位置，这样，问题就可看成1～4的错排，所以
f(4)=(4-1)・f(3)+(4-1)・f(2)=3f(3)+3f(2)，
∴f(3)=2f(2)+2f(1)=2+0=2,∴f(4)=3×2+3×1=9。
∴四张贺年卡不同的分配方式有9种。
九、构造行列式
行列式是重要的数学工具，元素是字母的行列式实际上是一个多项式。对称多项式或轮换多项式往往可以应用相应的行列式来表示，因此可以构造行列式。
十、构造概率
概率是数学的重要概念，构造概率就是应用数学概率原理来解题的策略。
十一、构造辅助表
若研究的问题涉及两个集合的元素间对应关系，可编制有两个表头的表格，每个表头对应一个集合，使表头的格与集合的元素相对应，表中的任一格都表示取自这两个集合的两元素组成的元素对，格中填写与此元素对有关的数据或关系，然后再利用制成的表格进行分析、研究。表格本身具有逻辑结构，往往能使问题的逻辑关系直观而简明地显现出来，提供程序性操作的机会。
例11 21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛
（1）每个参赛者至多解出了6道题；
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 （2）对于每一个女孩和每一个男孩，至少有一道题被这一对孩子都解出。
证明：有一道题至少有3个女孩和至少3个男孩都解出。（第42届IMO试题）
证明：作一张21×21关联表，每行代表一个男孩b (1≤i≤21)，每列代表一个女孩g (1≤i≤21)，格子(i,j)（表示第i行、第j列的格子）中填入b 与g 共同解出的一道题的序号（由（2）知必有这种题目，若不止一道，可任意选定一道），由（1）知，每行填入的21个序号至多有6种不同，故出现3次（或更多）的序号的总次数不少于21-2×5=11，将这些格子染上红色，全表共有至少11×21个格子被染上红色，同理，将每列中出现3次（或更多）的序号所在的格子染上蓝色，全表共有至少11×21个蓝格子，由于11×21+11×21=22×21＞21×21，故必有一个格子同时被染上红色和蓝色，这个格子所填序号的题目就满足了要求。
通过对以上这些方面的探讨，给人深刻的思想启示：
（1）构造辅助元素在解决数学问题中起到化简、转化和桥梁的作用；
（2）用构造辅助元素解决问题，可以使数学各分支知识互相渗透，有利于提高分析和解决问题的能力；
（3）数学各分支知识为构造辅助元素提供了广阔而丰富的背景。
要想运用好构造辅助元素这种方法，应全面深入分析问题的特点、条件间的关系以及条件与结论之间的关系，挖掘问题的寓意，明确问题所涉及的知识领域；同时必须广开思路，广泛联想有关知识，采用发散思维、逆向思维等创造性思维方法，寻求欲构造的辅助元素。若教师在教学中能适当地对其加以介绍，并加强解题训练，对学生创造思维能力的培养，数学素质的全面提高会有意想不到的功效。
参考文献：
[1]侯敏义.数学思维与数学方法论[M].长春：东北师范大学出版社，1995.
[2]梁法驯.数学解题方法[M].武汉：华中理工大学出版社，1995.3.
[3]刘浏，袁拥军.例谈运用构造法求取值范围[J].数学教学研究，2003，（10）.
[4]吴礼斌，吴秋月.例谈构造法解题[J].中学数学教学，2003，（6）.
[5]曹勇兵.例说构造法解题[J].中学数学研究，2002，（8）.
[6]李记林.例说循特征构造正三角形解题[J].中学数学研究，2002，（6）.
[7]蔡旺庆.构造特殊“元”，优化解题过程[J].数学教学研究，2001，（10）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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