一道平面几何奥赛题的空间推广_初二平面几何奥赛题
时间：2020-03-01 07:35:16 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：本文主要对第58届白俄罗斯数学奥林匹克决赛的一道平面几何试题进行了空间上的推广，得到了如下结论：设P为四面体ABCD内的任意一点，过P分别作面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的平行平面截四面体所得截面分别为△A1B1C1，△B2C2D2，△C3D3A3，△D4A4B4，则有=3．
关键词：平面几何；空间；推广；比值；定值
第58届白俄罗斯数学奥林匹克决赛有如下一道平面几何试题：
题 如图1，设I为△ABC的内心，过I分别作AB，BC，CA的平行线A1B2，B1C2，C1A2，求++的值．
《中等数学》2009年增刊第92页提供以上试题的解答，指出并证明了I为△ABC的任意一点时结论亦成立，现将其叙述成定理的形式．
定理1 如图1，设I为△ABC内的任意一点，过I分别作AB，BC，CA的平行线A1B2，B1C2，C1A2，则有++=2．
图1
笔者考虑四面体是否有类似的性质，结论是肯定的，现叙述如下：
定理2 设P为四面体ABCD内的任意一点，过P分别作面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的平行平面截四面体所得截面分别为△A1B1C1，△B2C2D2，△C3D3A3，△D4A4B4，则有+++=3．
证明 设P到面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的距离分别为md，ma，mb，mc，顶点D，A，B，C对应的高分别为hd，ha，hb，hc．
因为面A1B1C1∥面ABC，所以四面体DABC∽四面体DA1B1C1． 从而=．
同理，=，=，=．
故χ=+++=+++
=4－+++．
设V为四面体的面积，则
3V=hdS△ABC=haS△BCD=hbS△CDA=hcS△DAB=mdS△ABC+maS△BCD+mbS△CDA+mcS△DAB．
于是，χ=4－+++=3． 即定理2得证．
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