大学高阶导数求导例题【导数的重要应用】

时间：2020-02-23 07:31:32　来源：雅意学习网本文已影响人

　　导数是中学数学新增的重要工具之一，用之处理函数的单调区间问题有无可比拟的优越性. 　　涉及用导数处理函数的单调性分类讨论的问题，对其分类标准作系统归纳，有利于学生的综合感悟、应用知识，提高能力.
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　　实际解题时，求导后如何确定分类标准成为解决问题的瓶颈，下面就常接触的几分类方法汇总如下：�
　　1．用奇偶分析分类问题�
　　例1 求函数f(x)=x�2-2(-1)�k�ln�x(k∈N�*)求此函数的单调增区间.
　　�
　　解:函数的定义域为（0，+∞)�
　　f′(x)=2x-2(-1)�k1x=2［x�2-(-1)�k］x�
　　1�°� 当k为奇数时，f＝′(x)=2(x�2+1)x,f(x)′>0在（0，+∞)恒成立�
　　即函数的单调区间是（0，+∞)�
　　2�°� 当k为偶数时，f′(x)=2(x�2-1)x，f′(x)>0，得x>1�
　　即函数的单调区间是（1，+∞)�
　　综上k为奇数时f(x)单调增区间是（0，+∞)，k为偶数f(x)单调增区间是（0，+∞)�
　　2．用参数正负，根的大小来分类问题�
　　例2 已知函数f(x)=2ax-a�2+1x�2+1(x∈R)，a∈R．当a≠0，求函数f(x)的单调区.�
　　解：f′(x)=2a(x�2+1)-2x(2ax-a�2+1)(x�2+1)�2=-2(x-a)(ax+1)(x�2+1)�2．�
　　令f′(x)=0，得到x�1=-1a，x�2=a，�
　　a--1a=a+1a=a�2+1a�
　　易见，由a的正负即可确定两根的大小，从而确定了分类标准�
　　（1）当a>0时，令f′(x)=0，得到x�1=-1a，�x�2=�a．当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：�
　　x-∞,-1a1a-1a,aa(a,+∞)
　　f′(x)-0+0-
　　f(x)+极小值极大值
　　
　　
　　所以f(x)在区间-∞,-1a，(a,+∞)内为减函数，在区间-1aa内为增函数．�
　　（2）当a0）,讨论g(x)的单调性．�
　　解：由g(x)=e�xx�2+k(k＞0)�
　　得g′(x)=e�x(x�2-2x+k)(x�2+k)�2(k＞0)�
　　令g′(x)=0，有x�2-2x+k=0(k＞0)�
　　（1）当�Δ�=4-4k1时，g′(x)>0在R上恒成立，故函数g(x)在R上位增函数�
　　（2）当�Δ�=4-4k=0，即当k=1时，有g′(x)=e�x(x-1)�2(x�2+1)�2>0(x≠1)，从而当k=1时，g(x)在为增函数�
　　（3）当�Δ�=4-4k>0，即当0＜k＜1时，方程x�2-2x+k=0有两个不相等实根x�1=1-1-k,x�2=1+1-k�
　　当x∈(-∞,1-1-k)时，g′(x)>0，故g(x)在(-∞,1-1-k)上为增函数；�
　　当x∈(1-1-k,1+1-k)时，g′(x)0,故g(x)在(1+1-k,+∞)上为增函数�
　　4．用导函数的最值来分类问题�
　　已知函数f(x)=ax-�ln�（-x） x∞［-e,0)a为常数�
　　求函数的单调区间�
　　解：f′(x)=a-1x导函数在x∈［-e,0)是单调的增函数，所以f′(x)的最小值是a+1e�
　　1) a+1e≥0,即a≥-1e时，f′(x)≥0恒成立，所以函数的单调增区间是［-e,0)�
　　2） a+1e0�-1a

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